Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se lang<=u, vrang<= é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função PT: V times V R definida por PT(u, v)=lang<=T(u), T(v)rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão fala sobre um isomorfismo de um espaço vetorial e um produto interno definido nesse espaço. A nossa missão é provar que se a gente definir uma nova função da forma , essa função também será um produto interno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo e as propriedades de um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (não junta vetores diferentes) e sobrejetora (cobre todo o espaço). Isso significa que tem uma inversa que também é linear.

Passo 3

Agora, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores um número real, e que satisfaz quatro propriedades:
  1. Bilinearidade:
  2. Simetria:
  3. Positividade: e se e somente se
  4. Homogeneidade: para todo escalar

Passo 4

O que precisamos mostrar é que também satisfaz essas quatro propriedades de um produto interno. Vamos verificar cada uma delas passo a passo.

Passo 5

Bilinearidade:
Vamos verificar se PT(au + bv, w) = lang<= T(au + bv), T(w) rang<= .
Começamos aplicando T(au + bv) = aT(u) + bT(v) :
lang<= aT(u) + bT(v), T(w) rang<= = alang<= T(u), T(w) rang<= + blang<= T(v), T(w) rang<=
Como PT(au + bv, w) = aPT(u, w) + bPT(v, w) é linear:
Então:
Ou seja:
Assim, é bilinear.

Passo 6

Simetria:
Vamos ver se PT(u, v) = lang<= T(u), T(v) rang<= .
Pelo enunciado:
lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= T(v), T(u) rang<= = PT(v, u)
Como o produto interno original é simétrico:
Então, é simétrico.

Passo 7

Positividade:
Precisamos mostrar que PT(u, u) = lang<= T(u), T(u) rang<= >= 0 e que se e somente se .
Calculando:
Porque o produto interno original é positivo. Além disso, se e somente se .
Como é um isomorfismo (e, portanto, injetora), isso acontece apenas quando . Logo, a positividade está satisfeita para .

Passo 8

Homogeneidade:
Vamos verificar se PT(u, av) = lang<= T(u), T(av) rang<= .
Calculando:
T(av) = aT(v)
Como lang<= T(u), aT(v) rang<= = alang<= T(u), T(v) rang<= = aPT(u, v) é linear:
Então:
Portanto, satisfaz a homogeneidade.

Resposta

Como satisfaz todas as propriedades de um produto interno (bilinearidade, simetria, positividade e homogeneidade), concluímos que é de fato um produto interno sobre .

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