Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se
é um produto interno sobre
, então o mesmo acontece com a função
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão fala sobre um isomorfismo
de um espaço vetorial
e um produto interno
definido nesse espaço. A nossa missão é provar que se a gente definir uma nova função
da forma
, essa função também será um produto interno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo e as propriedades de um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo
é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (não junta vetores diferentes) e sobrejetora (cobre todo o espaço). Isso significa que
tem uma inversa
que também é linear.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno
em um espaço vetorial
é uma função que associa a cada par de vetores
um número real, e que satisfaz quatro propriedades:
- Bilinearidade:
- Simetria:
- Positividade:
e se e somente se - Homogeneidade:
para todo escalar
Passo 4
O que precisamos mostrar é que
também satisfaz essas quatro propriedades de um produto interno. Vamos verificar cada uma delas passo a passo.
Passo 5
Bilinearidade:
Vamos verificar se
.
Começamos aplicando
:
Como
é linear:
Então:
Ou seja:
Assim,
é bilinear.
Passo 6
Simetria:
Vamos ver se
.
Pelo enunciado:
Como o produto interno original é simétrico:
Então,
é simétrico.
Passo 7
Positividade:
Precisamos mostrar que
e que
se e somente se
.
Calculando:
Porque o produto interno original é positivo. Além disso,
se e somente se
.
Como
é um isomorfismo (e, portanto, injetora), isso acontece apenas quando
. Logo, a positividade está satisfeita para
.
Passo 8
Homogeneidade:
Vamos verificar se
.
Calculando:
Como
é linear:
Então:
Portanto,
satisfaz a homogeneidade.
Resposta
Como
satisfaz todas as propriedades de um produto interno (bilinearidade, simetria, positividade e homogeneidade), concluímos que
é de fato um produto interno sobre
.
Exercícios relacionados
(1) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
(b) .
(b)
Sendo
e
, calcular
e
.
Sabendo que
, calcular:
Resp: 5
(4) Determine se o conjunto
é L.D. ou L.I.
(b) .
(b)