Seja
um operador linear em um espaço vetorial
para o qual
. Mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente tem um operador linear
num espaço vetorial
que satisfaz
. O objetivo é mostrar que se
está na imagem de
(ou seja,
), então ao aplicar
em
, a gente retorna
mesmo. Para isso, vamos precisar entender sobre operadores lineares, imagens de operadores e como manipular essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que existe algum vetor
tal que
. Ou seja,
é a imagem de algum vetor
quando aplicamos o operador
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Já que sabemos que
, podemos substituir na expressão:
Passo 4
Sabemos que
, ou seja, aplicar
duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez. Então, podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Mas lembra que
, então substituímos de novo:
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
, calcular:
Resp: 5
Dados os vetores
e
, encontre:
c) ;
c)
Sendo
e
, calcular
e
.
(1) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
(b) .
(b)