Seja T um operador linear em um espaço vetorial V para o qual T^2=T. Mostre que:
Se w in Im(T), então T(w)=w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente tem um operador linear num espaço vetorial que satisfaz . O objetivo é mostrar que se está na imagem de (ou seja, ), então ao aplicar em , a gente retorna mesmo. Para isso, vamos precisar entender sobre operadores lineares, imagens de operadores e como manipular essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que existe algum vetor tal que . Ou seja, é a imagem de algum vetor quando aplicamos o operador .

Passo 3

Agora, queremos encontrar T(w) = T(T(v)) . Já que sabemos que , podemos substituir na expressão:

Passo 4

Sabemos que T(T(v)) = T^2(v) = T(v) , ou seja, aplicar duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez. Então, podemos simplificar a expressão:

Passo 5

Mas lembra que T(w) = T(v) = w , então substituímos de novo:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo .

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