(1) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
(a) ,
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial composto por matrizes da forma:
onde são números reais. Nosso objetivo é encontrar uma base para esse espaço vetorial e determinar sua dimensão. Para isso, precisamos identificar quais matrizes são necessárias para gerar qualquer matriz em através de combinações lineares, e contar quantas dessas matrizes precisamos (essa contagem será a dimensão).
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a matriz dada de forma que possamos identificar os coeficientes :
Aqui, reescrevemos a matriz como uma combinação linear das matrizes:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas matrizes são linhas linearmente independentes, ou seja, se nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das outras. Isso nos ajudará a determinar se elas formam uma base.
Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Substituindo as matrizes:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Da segunda equação: .
Da terceira equação: (não nos dá nova informação).
Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é e . Porém, para que as matrizes sejam linearmente independentes, a única solução deve ser . Como não é o caso (já que pode ter vários valores), as matrizes são linearmente dependentes.
Passo 5
Como as matrizes são linearmente dependentes, precisamos remover uma delas para obter uma base com vetores (matrizes) linearmente independentes. Observando que A = 3 & 0 0 & -3 , B = 0 & 1 -1 & 0 , podemos remover uma delas, por exemplo, .
Assim, temos duas matrizes restantes:
Vamos verificar se essas duas matrizes são linearmente independentes.
Passo 6
Montamos novamente a combinação linear igual a zero: