(1) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
(a) V=[cc3 a & b-c c-b & -3 a] in M(2,2): a, b, c in R,

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial 3a & b - c c - b & -3a composto por matrizes da forma:
onde são números reais. Nosso objetivo é encontrar uma base para esse espaço vetorial e determinar sua dimensão. Para isso, precisamos identificar quais matrizes são necessárias para gerar qualquer matriz em através de combinações lineares, e contar quantas dessas matrizes precisamos (essa contagem será a dimensão).

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a matriz dada de forma que possamos identificar os coeficientes 3a & b - c c - b & -3a = a 3 & 0 0 & -3 + b 0 & 1 -1 & 0 + c 0 & -1 1 & 0 :
A = 3 & 0 0 & -3 , B = 0 & 1 -1 & 0 , C = 0 & -1 1 & 0
Aqui, reescrevemos a matriz como uma combinação linear das matrizes:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas matrizes alpha A + beta B + gamma C = 0 são linhas linearmente independentes, ou seja, se nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das outras. Isso nos ajudará a determinar se elas formam uma base.
Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
alpha 3 & 0 0 & -3 + beta 0 & 1 -1 & 0 + gamma 0 & -1 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Substituindo as matrizes:
3alpha = 0 beta - gamma = 0 -beta + gamma = 0 -3alpha = 0
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Da segunda equação: .
  3. Da terceira equação: (não nos dá nova informação).
Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é e . Porém, para que as matrizes sejam linearmente independentes, a única solução deve ser . Como não é o caso (já que pode ter vários valores), as matrizes são linearmente dependentes.

Passo 5

Como as matrizes são linearmente dependentes, precisamos remover uma delas para obter uma base com vetores (matrizes) linearmente independentes. Observando que A = 3 & 0 0 & -3 , B = 0 & 1 -1 & 0 , podemos remover uma delas, por exemplo, .
Assim, temos duas matrizes restantes:
Vamos verificar se essas duas matrizes são linearmente independentes.

Passo 6

Montamos novamente a combinação linear igual a zero:
alpha A + beta B = 0
Substituindo:
alpha 3 & 0 0 & -3 + beta 0 & 1 -1 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá o sistema:
3alpha = 0 beta = 0 -beta = 0 -3alpha = 0
Resolvendo:
Portanto, a única solução é , o que confirma que e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para o espaço vetorial 3 & 0 0 & -3 e 0 & 1 -1 & 0 é formada pelas matrizes
A dimensão de é 2.

Exercícios relacionados