(3) Sejam
l W1=(x, y, z, w, t) in R^5: x-y=z, w-2 t=0, W2=(x, y, z, w, t) in R^5: x-y-z-w-2 t=0
subespaços de R^5. Determine a dimensão de W1+W2 e se for possível encontre uma base para o subespaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços e no espaço . O objetivo é descobrir qual é a dimensão da soma desses subespaços, , e, se der, encontrar uma base para esse subespaço resultante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, dimensão, soma de subespaços e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada subespaço individualmente e determinar suas dimensões.

Determinando a dimensão de W1 = (x, y, z, w, t) in R^5 : x - y = z, , w - 2t = 0 :

O subespaço (x, y, z, w, t) = ( x, y, x - y, 2t, t ) é definido por:
x cdot (1, 0, 1, 0, 0) + y cdot (0, 1, -1, 0, 0) + t cdot (0, 0, 0, 2, 1)
Temos duas equações que relacionam as variáveis. Vamos expressar algumas variáveis em termos das outras para encontrar os “graus de liberdade”.
  1. Da primeira equação: , (1, 0, 1, 0, 0), ; (0, 1, -1, 0, 0), ; (0, 0, 0, 2, 1) , .
  2. Da segunda equação: W2 = (x, y, z, w, t) in R^5 : x - y - z - w - 2t = 0 .
Então, podemos escolher x = y + z + w + 2t como variáveis livres. Vamos expressar o vetor genérico de (x, y, z, w, t) = ( y + z + w + 2t, , y, , z, , w, , t ) :
y cdot (1, 1, 0, 0, 0) + z cdot (1, 0, 1, 0, 0) + w cdot (1, 0, 0, 1, 0) + t cdot (2, 0, 0, 0, 1)
Agora, podemos escrever isso como uma combinação linear:
, (1, 1, 0, 0, 0), ; (1, 0, 1, 0, 0), ; (1, 0, 0, 1, 0), ; (2, 0, 0, 0, 1) ,
Portanto, uma base para é:
A dimensão de é o número de vetores na base, que é 3.

Determinando a dimensão de :

O subespaço é definido por:
Temos uma única equação linear. Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras:
Escolhendo como variáveis livres, o vetor genérico de fica:
Escrevendo como combinação linear:
Portanto, uma base para é:
A dimensão de é 4.

Passo 3

Agora que sabemos as dimensões de dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1 cap W2) e , vamos utilizar a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
Para aplicar essa fórmula, precisamos descobrir a dimensão da interseção .

Passo 4

Vamos encontrar x - y - (x - y) - 2t - 2t = 0 x - y - x + y - 4t = 0 -4t = 0 t = 0 , ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços (x, y, z, w, t) = (x, y, x - y, 0, 0) e x cdot (1, 0, 1, 0, 0) + y cdot (0, 1, -1, 0, 0) .
As condições para um vetor , (1, 0, 1, 0, 0), ; (0, 1, -1, 0, 0) , estar em são:
Vamos usar as condições 1 e 2 para substituir na condição 3.
Da condição 1:
Da condição 2:
Substituindo na condição 3:
Com , da condição 2, temos .
E da condição 1, .
Então, os vetores de são da forma:
Podemos escolher e como variáveis livres. Escrevendo como combinação linear:
Portanto, uma base para é:
A dimensão de é 2.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da dimensão da soma:
dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1 cap W2) = 3 + 4 - 2 = 5
Então, a dimensão de é 5.

Resposta

A dimensão de , (1, 0, 0, 0, 0), ; (0, 1, 0, 0, 0), ; (0, 0, 1, 0, 0), ; (0, 0, 0, 1, 0), ; (0, 0, 0, 0, 1) , é 5. Além disso, como a soma alcança a dimensão máxima do espaço , . Portanto, uma base para é a base canônica de :

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