(3) Sejam
subespaços de
. Determine a dimensão de
e se for possível encontre uma base para o subespaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços
e
no espaço
. O objetivo é descobrir qual é a dimensão da soma desses subespaços,
, e, se der, encontrar uma base para esse subespaço resultante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, dimensão, soma de subespaços e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada subespaço individualmente e determinar suas dimensões.
Determinando a dimensão de
:
O subespaço
é definido por:
Temos duas equações que relacionam as variáveis. Vamos expressar algumas variáveis em termos das outras para encontrar os “graus de liberdade”.
- Da primeira equação:
. - Da segunda equação:
.
Então, podemos escolher
como variáveis livres. Vamos expressar o vetor genérico de
:
Agora, podemos escrever isso como uma combinação linear:
Portanto, uma base para
é:
A dimensão de
é o número de vetores na base, que é 3.
Determinando a dimensão de
:
O subespaço
é definido por:
Temos uma única equação linear. Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras:
Escolhendo
como variáveis livres, o vetor genérico de
fica:
Escrevendo como combinação linear:
Portanto, uma base para
é:
A dimensão de
é 4.
Passo 3
Agora que sabemos as dimensões de
e
, vamos utilizar a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
Para aplicar essa fórmula, precisamos descobrir a dimensão da interseção
.
Passo 4
Vamos encontrar
, ou seja, os vetores que estão em ambos os subespaços
e
.
As condições para um vetor
estar em
são:
Vamos usar as condições 1 e 2 para substituir na condição 3.
Da condição 1:
Da condição 2:
Substituindo na condição 3:
Com
, da condição 2, temos
.
E da condição 1,
.
Então, os vetores de
são da forma:
Podemos escolher
e
como variáveis livres. Escrevendo como combinação linear:
Portanto, uma base para
é:
A dimensão de
é 2.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da dimensão da soma:
Então, a dimensão de
é 5.
Resposta
A dimensão de
é 5. Além disso, como a soma alcança a dimensão máxima do espaço
,
. Portanto, uma base para
é a base canônica de
:
Exercícios relacionados
(1) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
(a) ,
(a)
Duas forças com magnitudes de 60 Ne 80 N formam entre si um ângulo de
e estão aplicadas ao mesmo ponto de um objeto. A che
b) o ângulo que ela forma com a força de 60 N , com precisão de um grau.
b) o ângulo que ela forma com a força de 60 N , com precisão de um grau.
Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
Dados os vetores
e
, encontre:
a) ;
a)