Encontre uma base e a dimensão do subespaço de gerado pelos vetores:

Passo 1

Beleza! O exercício pede para encontrarmos uma base e a dimensão de um subespaço de gerado por três vetores: , e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, independência linear e matrizes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que esses vetores geram um subespaço. Isso quer dizer que qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como uma combinação linear de , e . Nossa missão é descobrir quais desses vetores são realmente necessários para gerar todo o subespaço sem redundância.

Passo 3

Para descobrir isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e ver quantas colunas independentes ela tem. Isso vai nos dizer a dimensão do subespaço e quais vetores formam a base.

Passo 4

Vamos fazer as operações de linha para transformar a matriz em forma escalonada:
  1. A primeira linha já começa com 1, então vamos eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
  2. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
  3. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
  4. Subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta linha:

Passo 5

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na segunda coluna:
  1. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
  2. Subtraímos 3 vezes a segunda linha da quarta linha:

Passo 6

A matriz está agora em forma escalonada. Observamos que há 2 linhas não nulas, o que significa que temos 2 vetores linearmente independentes. Portanto, a dimensão do subespaço é 2.

Passo 7

Para encontrar a base, vamos olhar quais colunas da matriz original correspondem aos pivôs (as primeiras entradas não nulas nas linhas). Aqui, os pivôs estão nas colunas 1 e 2. Então, os vetores e formam a base do subespaço.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é composta pelos vetores e .

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(b) .
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(a) Mostre que o conjunto é linearmente independente;
(b) O conjunto é ou não linearmente independente?
Mostre que em , o conjunto de vetores
é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz formada por esses vetores for não-nulo:
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