Encontre uma base e a dimensão do subespaço de R^4 gerado pelos vetores:
v1=(1,2,3,4), v2=(0,1,2,3), v3=(1,1,1,1)

Passo 1

Beleza! O exercício pede para encontrarmos uma base e a dimensão de um subespaço de R^4 gerado por três vetores: v1=(1,2,3,4), v2=(0,1,2,3) e v3=(1,1,1,1). Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, independência linear e matrizes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que esses vetores geram um subespaço. Isso quer dizer que qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como uma combinação linear de v1, v2 e v3. Nossa missão é descobrir quais desses vetores são realmente necessários para gerar todo o subespaço sem redundância.

Passo 3

Para descobrir isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 3 & 2 & 1 4 & 3 & 1
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e ver quantas colunas independentes ela tem. Isso vai nos dizer a dimensão do subespaço e quais vetores formam a base.

Passo 4

Vamos fazer as operações de linha para transformar a matriz em forma escalonada:
  1. A primeira linha já começa com 1, então vamos eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
  2. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha: 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 3 & 2 & 1 4 & 3 & 1
  3. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha: 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 2 & -2 4 & 3 & 1
  4. Subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta linha: 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3

Passo 5

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na segunda coluna:
  1. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha: 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 3 & -3
  2. Subtraímos 3 vezes a segunda linha da quarta linha: 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 6

A matriz está agora em forma escalonada. Observamos que há 2 linhas não nulas, o que significa que temos 2 vetores linearmente independentes. Portanto, a dimensão do subespaço é 2.

Passo 7

Para encontrar a base, vamos olhar quais colunas da matriz original correspondem aos pivôs (as primeiras entradas não nulas nas linhas). Aqui, os pivôs estão nas colunas 1 e 2. Então, os vetores v1 e v2 formam a base do subespaço.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é composta pelos vetores v1=(1,2,3,4) e v2=(0,1,2,3).

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