Encontre uma base e a dimensão do subespaço de gerado pelos vetores:
Passo 1
Beleza! O exercício pede para encontrarmos uma base e a dimensão de um subespaço de gerado por três vetores: , e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, independência linear e matrizes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que esses vetores geram um subespaço. Isso quer dizer que qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como uma combinação linear de , e . Nossa missão é descobrir quais desses vetores são realmente necessários para gerar todo o subespaço sem redundância.
Passo 3
Para descobrir isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e ver quantas colunas independentes ela tem. Isso vai nos dizer a dimensão do subespaço e quais vetores formam a base.
Passo 4
Vamos fazer as operações de linha para transformar a matriz em forma escalonada:
A primeira linha já começa com 1, então vamos eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta linha:
Passo 5
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na segunda coluna:
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Subtraímos 3 vezes a segunda linha da quarta linha:
Passo 6
A matriz está agora em forma escalonada. Observamos que há 2 linhas não nulas, o que significa que temos 2 vetores linearmente independentes. Portanto, a dimensão do subespaço é 2.
Passo 7
Para encontrar a base, vamos olhar quais colunas da matriz original correspondem aos pivôs (as primeiras entradas não nulas nas linhas). Aqui, os pivôs estão nas colunas 1 e 2. Então, os vetores e formam a base do subespaço.
Resposta
A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é composta pelos vetores e .