Encontre para que cada igualdade abaixo seja válida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de que torna válida a igualdade entre o determinante de uma matriz e o determinante de uma matriz . Vamos usar conceitos de determinantes, que são números que a gente calcula a partir de matrizes e que têm várias aplicações na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz :
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a fórmula:
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz :
Para determinantes , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
Calculando cada menor:
Agora, substituindo:

Passo 4

Agora que temos os dois determinantes, igualamos eles para encontrar :
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Multiplicando os dois lados por para facilitar:

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a igualdade são e .

Exercícios relacionados

Encontre uma base e a dimensão do subespaço de nos casos seguintes:
(a) .
Encontre todos os valores de para os quais .
Efetuar
Se possível, escreva o vetor como combinação linear dos vetores e