Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem: (i) rho^2=1-sen theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas polares: rho^2 = 1 - sin theta. O que isso quer dizer é que a gente precisa desenhar no plano todos os pontos que satisfazem essa relação entre rho (a distância do ponto à origem) e theta (o ângulo que o ponto forma com o eixo positivo x). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e álgebra para transformar essa equação e identificar que tipo de curva ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, podemos converter para coordenadas cartesianas usando as fórmulas:
x = rho cos theta
y = rho sin theta
Além disso, sabemos que rho^2 = x^2 + y^2. Nossa equação é rho^2 = 1 - sin theta, então podemos substituir rho^2 por x^2 + y^2 e sin theta por yrho.

Passo 3

Vamos substituir na equação:
x^2 + y^2 = 1 - yrho
Multiplicando ambos os lados por rho para eliminar o denominador:
rho (x^2 + y^2) = rho - y
Mas rho = raizx^2 + y^2, então substituindo:
raizx^2 + y^2 (x^2 + y^2) = raizx^2 + y^2 - y
Essa equação está um pouco complicada, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos voltar à equação original em coordenadas polares: rho^2 = 1 - sin theta. Podemos reescrever isso como:
rho^2 + sin theta = 1
Sabemos que sin theta = yrho, então:
rho^2 + yrho = 1
Multiplicando ambos os lados por rho:
rho^3 + y = rho
Ainda está complicada. Vamos tentar representar a equação de outra maneira.

Passo 5

Uma alternativa é trabalhar diretamente com a equação rho^2 = 1 - sin theta e tentar identificar a curva. Sabemos que certas equações em coordenadas polares correspondem a cônicas ou curvas conhecidas. Vamos ver se conseguimos reconhecer o tipo de curva.
Podemos reescrever a equação como:
rho^2 + sin theta = 1
Isso sugere que a curva é um tipo de círculo deslocado.

Passo 6

Para facilitar, vamos expressar sin theta em termos de coordenadas cartesianas:
sin theta = yrho
Substituindo na equação:
rho^2 + yrho = 1
Multiplicando ambos os lados por rho:
rho^3 + y = rho
Agora, substituindo rho = raizx^2 + y^2:
(raizx^2 + y^2)^3 + y = raizx^2 + y^2
Essa equação parece complexa para representar uma curva simples, então talvez a melhor abordagem seja plotar a equação em coordenadas polares.

Passo 7

Vamos analisar como rho varia com theta. A equação é rho^2 = 1 - sin theta, então:
rho = raiz1 - sin theta
Para rho ser real, precisamos que 1 - sin theta >= 0, ou seja, sin theta <= 1, o que sempre é verdade. Agora, vamos ver para alguns valores de theta:
  • Para theta = 0: rho = raiz1 - 0 = 1
  • Para theta = pi2: rho = raiz1 - 1 = 0
  • Para theta = pi: rho = raiz1 - 0 = 1
  • Para theta = 3pi2: rho = raiz1 - (-1) = raiz2
Isso sugere que a curva tem simetria e passa pela origem.

Passo 8

Plotando esses pontos e conectando de forma suave, percebemos que a curva é um tipo de círculo deslocado para baixo no plano cartesiano. De fato, a equação rho^2 = 1 - sin theta representa um círculo com raio 12 e centro em (0, 12).

Resposta

A representação geométrica dos pontos que satisfazem rho^2 = 1 - sin theta é um círculo no plano cartesiano com centro em (0, 12) e raio 12.

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