Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem: (i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas polares:
. O que isso quer dizer é que a gente precisa desenhar no plano todos os pontos que satisfazem essa relação entre
(a distância do ponto à origem) e
(o ângulo que o ponto forma com o eixo positivo x). Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e álgebra para transformar essa equação e identificar que tipo de curva ela representa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, podemos converter para coordenadas cartesianas usando as fórmulas:
Além disso, sabemos que
. Nossa equação é
, então podemos substituir
por
e
por
.
Passo 3
Vamos substituir na equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Mas
, então substituindo:
Essa equação está um pouco complicada, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos voltar à equação original em coordenadas polares:
. Podemos reescrever isso como:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Ainda está complicada. Vamos tentar representar a equação de outra maneira.
Passo 5
Uma alternativa é trabalhar diretamente com a equação
e tentar identificar a curva. Sabemos que certas equações em coordenadas polares correspondem a cônicas ou curvas conhecidas. Vamos ver se conseguimos reconhecer o tipo de curva.
Podemos reescrever a equação como:
Isso sugere que a curva é um tipo de círculo deslocado.
Passo 6
Para facilitar, vamos expressar
em termos de coordenadas cartesianas:
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, substituindo
:
Essa equação parece complexa para representar uma curva simples, então talvez a melhor abordagem seja plotar a equação em coordenadas polares.
Passo 7
Vamos analisar como
varia com
. A equação é
, então:
Para
ser real, precisamos que
, ou seja,
, o que sempre é verdade. Agora, vamos ver para alguns valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Isso sugere que a curva tem simetria e passa pela origem.
Passo 8
Plotando esses pontos e conectando de forma suave, percebemos que a curva é um tipo de círculo deslocado para baixo no plano cartesiano. De fato, a equação
representa um círculo com raio
e centro em
.
Resposta
A representação geométrica dos pontos que satisfazem
é um círculo no plano cartesiano com centro em
e raio
.
Exercícios relacionados
Se
e
, determine
.
Se verdadeiro prove, caso contrário dê um contraexemplo: A aplicação
é uma transformação linear.
NotasDeAulas [2024] Seja
como na questão questão anterior, definamos as operações:
com essas operações de adição e multiplicação, definidas acima, sobre
, perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre
.
Encontre uma base e a dimensão do subespaço
de
onde