Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(x1, y1) e v=(x2, y2) por
u+v & =(x1+x2+1, y1+y2+1) lambda u & =(lambda x1, lambda y1)
d) Mostre que vale os Axiomas A4 fornecendo um par ordenado -u tal que u+(-u)=0, com u=(x1, y1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que um determinado axioma, o Axioma A4, vale nesse conjunto V que é composto por pares ordenados de números reais. O que isso significa na prática? Estamos trabalhando com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de um jeito específico. Para resolvermos isso, vamos precisar entender como encontrar um inverso aditivo para qualquer vetor , ou seja, um par ordenado tal que a soma de com seja igual ao vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que Axioma A4 diz. Ele afirma que para todo vetor u + (-u) = 0 no espaço vetorial, existe um vetor inverso tal que:
Aqui, é o vetor zero, que funciona como o elemento neutro da adição.

Passo 3

Sabemos que a adição definida nesse conjunto é:
u + v = (x1 + x2 + 1, , y1 + y2 + 1)
Para encontrar u + (-u) = (x1 + (-x1) + 1, , y1 + (-y1) + 1) = (1, 1) , queremos que:
u + (-u) = (x1 + (-x1) + 1, , y1 + (-y1) + 1) = (0 + 1, , 0 + 1) = (1, 1)
Mas queremos que isso seja igual a . Isso sugere que, nesse sistema, o vetor zero é , já que:
Para que , precisamos ajustar nosso inverso. Vamos redefinir como .

Passo 4

Agora, queremos encontrar u + (-u) = 0 = (-1, -1) tal que:
u + (-u) = (x1 + a + 1, , y1 + b + 1) = (-1, -1)
Usando a definição da adição:
x1 + a + 1 = -1 y1 + b + 1 = -1
Isso nos dá o sistema de equações:
a = -1 - x1 - 1 = -x1 - 2 b = -1 - y1 - 1 = -y1 - 2
Resolvendo para -u = (-x1 - 2, , -y1 - 2) e :
Então, o inverso aditivo é:

Resposta

O inverso aditivo de é , de modo que .

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