Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
d) Mostre que vale os Axiomas A4 fornecendo um par ordenado tal que , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que um determinado axioma, o Axioma A4, vale nesse conjunto V que é composto por pares ordenados de números reais. O que isso significa na prática? Estamos trabalhando com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de um jeito específico. Para resolvermos isso, vamos precisar entender como encontrar um inverso aditivo para qualquer vetor , ou seja, um par ordenado tal que a soma de com seja igual ao vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que Axioma A4 diz. Ele afirma que para todo vetor no espaço vetorial, existe um vetor inverso tal que:
Aqui, é o vetor zero, que funciona como o elemento neutro da adição.

Passo 3

Sabemos que a adição definida nesse conjunto é:
Para encontrar , queremos que:
Mas queremos que isso seja igual a . Isso sugere que, nesse sistema, o vetor zero é , já que:
Para que , precisamos ajustar nosso inverso. Vamos redefinir como .

Passo 4

Agora, queremos encontrar tal que:
Usando a definição da adição:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo para e :
Então, o inverso aditivo é:

Resposta

O inverso aditivo de é , de modo que .

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Encontre uma base para e nas seguintes transformaçōes lineares:
dada por ;
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Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
e.
Encontre uma base para e nas seguintes transformaçōes lineares:
dada por ;