Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
d) Mostre que vale os Axiomas A4 fornecendo um par ordenado tal que , com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que um determinado axioma, o Axioma A4, vale nesse conjunto V que é composto por pares ordenados de números reais. O que isso significa na prática? Estamos trabalhando com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de um jeito específico. Para resolvermos isso, vamos precisar entender como encontrar um inverso aditivo para qualquer vetor , ou seja, um par ordenado tal que a soma de com seja igual ao vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que Axioma A4 diz. Ele afirma que para todo vetor no espaço vetorial, existe um vetor inverso tal que:
Aqui, é o vetor zero, que funciona como o elemento neutro da adição.
Passo 3
Sabemos que a adição definida nesse conjunto é:
Para encontrar , queremos que:
Mas queremos que isso seja igual a . Isso sugere que, nesse sistema, o vetor zero é , já que:
Para que , precisamos ajustar nosso inverso. Vamos redefinir como .