Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
T: R^3 longrightarrow R^3 dada por T(x, y, z)=(x-2 y, z-x, x-y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem dessa transformação. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, imagem e base.

Passo 2

Vamos começar representando a transformação T(e1) = T(1,0,0) = (1 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (1, -1, 1) como uma matriz. Isso facilita a visualização e manipulação. Cada coluna da matriz corresponde à transformação dos vetores canônicos T(e2) = T(0,1,0) = (0 - 2, 0 - 0, 0 - 1) = (-2, 0, -1) , T(e3) = T(0,0,1) = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (0, 1, 0) e A = 1 & -2 & 0 -1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 .
Calculando:
Então, a matriz associada a é:

Passo 3

A imagem de 1 & -2 & 0 -1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 é o espaço gerado pelas colunas da matriz Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 Rightarrow (-1+1, 0-2, 1+0) = (0, -2, 1) . Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Isso pode ser feito através da redução da matriz para a forma escalonada.
Vamos escrever a matriz aumentada e realizar operações de linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1 Rightarrow (1-1, -1+2, 0-0) = (0, 1, 0)
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)).
Adicionamos a primeira linha à segunda linha:
1 & -2 & 0 0 & -2 & 1 0 & 1 & 0
Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Vamos dividir a segunda linha por -2 para simplificar:
Linha 2 = 1-2 Linha 2 Rightarrow (0, 1, -12)
A matriz fica:
1 & -2 & 0 0 & 1 & -12 0 & 1 & 0
Em seguida, subtraímos a segunda linha da terceira linha para eliminar o 1 na posição (3,2):
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2 Rightarrow (0-0, 1-1, 0 - (-12)) = (0, 0, 12)
A matriz fica:
1 & -2 & 0 0 & 1 & -12 0 & 0 & 12

Passo 5

Observando a matriz escalonada, vemos que todos os pivôs (1,1; 2,2; 3,3) são não nulos, o que indica que as três colunas originais são linearmente independentes. Portanto, todas as três colunas da matriz formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para a imagem de é o conjunto dos vetores .

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