Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem dessa transformação. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, imagem e base.

Passo 2

Vamos começar representando a transformação como uma matriz. Isso facilita a visualização e manipulação. Cada coluna da matriz corresponde à transformação dos vetores canônicos , e .
Calculando:
Então, a matriz associada a é:

Passo 3

A imagem de é o espaço gerado pelas colunas da matriz . Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Isso pode ser feito através da redução da matriz para a forma escalonada.
Vamos escrever a matriz aumentada e realizar operações de linha:
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)).
Adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Vamos dividir a segunda linha por -2 para simplificar:
A matriz fica:
Em seguida, subtraímos a segunda linha da terceira linha para eliminar o 1 na posição (3,2):
A matriz fica:

Passo 5

Observando a matriz escalonada, vemos que todos os pivôs (1,1; 2,2; 3,3) são não nulos, o que indica que as três colunas originais são linearmente independentes. Portanto, todas as três colunas da matriz formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para a imagem de é o conjunto dos vetores .

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