Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
T: R^3 longrightarrow R^3 dada por T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, x+y+z,-x+y+3 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar uma base para a imagem da transformação linear definida por . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformações Lineares e Espaços Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como encontrar uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Em outras palavras, é o espaço gerado pelas colunas da matriz associada à transformação .

Passo 3

Vamos escrever a transformação linear A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 3 na forma de uma matriz. Isso significa que cada componente de forma uma coluna da matriz:

Passo 4

Agora, para encontrar uma base para a imagem de , precisamos identificar um conjunto de vetores coluna de que sejam linearmente independentes. Esses vetores irão “gerar” todo o espaço da imagem.

Passo 5

Vamos verificar a independência linear das colunas de c1 11-1 + c2 211 + c3 313 = 000 . Para isso, podemos montar uma combinação linear igual a zero:
Resolvendo esse sistema, descobrimos que devem ser zero, o que indica que as colunas são linearmente independentes.

Passo 6

Como todas as três colunas são linearmente independentes, isso significa que a imagem de é o próprio e, portanto, as três colunas formam uma base para a imagem.

Resposta

Uma base para a imagem de 11-1, 211, 313 é formada pelos vetores coluna da matriz :

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