Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são 3 y= pm 2 x e os vértices são ( pm 10,0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que escrever as equações de hipérboles cujas assíntotas são dadas por e os vértices estão nos pontos . Para resolver isso, vamos lembrar dos conceitos de hipérboles, suas assíntotas e vértices, além de como montar a equação padrão de uma hipérbole a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as assíntotas. As equações são e , que podemos reescrever como e . Essas retas mostram as direções para as quais a hipérbole se aproxima quando e vão para infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar os vértices da hipérbole, que são os pontos mais próximos ao centro da hipérbole. Os vértices fornecidos são e . Isso indica que o centro da hipérbole está na origem , já que os vértices estão igualmente distantes dessa origem ao longo do eixo .

Passo 4

Sabendo que o centro está em x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e que os vértices estão ao longo do eixo , concluímos que a hipérbole abre horizontalmente. A equação padrão para uma hipérbole que abre horizontalmente é:
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado à inclinação das assíntotas.

Passo 5

Vamos determinar o valor de a = 10 . Como os vértices estão em , a distância é 10.
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos relacionar as assíntotas com y = pm bax e ba = 23 . Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são dadas por:
Dado que as assíntotas são , podemos igualar as expressões:

Passo 7

Substituindo b10 = 23 implies b = 203 na equação acima para encontrar :
Portanto, .

Passo 8

Com os valores de x^2100 - y^24009 = 1 e x^2100 - 9y^2400 = 1 encontrados, podemos escrever a equação padrão da hipérbole:
Para simplificar, multiplicamos o denominador da segunda fração:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^2100 - 9y^2400 = 1

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