Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são
e os vértices são
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que escrever as equações de hipérboles cujas assíntotas são dadas por
e os vértices estão nos pontos
. Para resolver isso, vamos lembrar dos conceitos de hipérboles, suas assíntotas e vértices, além de como montar a equação padrão de uma hipérbole a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as assíntotas. As equações são
e
, que podemos reescrever como
e
. Essas retas mostram as direções para as quais a hipérbole se aproxima quando
e
vão para infinito.
Passo 3
Agora, vamos analisar os vértices da hipérbole, que são os pontos mais próximos ao centro da hipérbole. Os vértices fornecidos são
e
. Isso indica que o centro da hipérbole está na origem
, já que os vértices estão igualmente distantes dessa origem ao longo do eixo
.
Passo 4
Sabendo que o centro está em
e que os vértices estão ao longo do eixo
, concluímos que a hipérbole abre horizontalmente. A equação padrão para uma hipérbole que abre horizontalmente é:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado à inclinação das assíntotas.
Passo 5
Vamos determinar o valor de
. Como os vértices estão em
, a distância
é 10.
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos relacionar as assíntotas com
e
. Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são dadas por:
Dado que as assíntotas são
, podemos igualar as expressões:
Passo 7
Substituindo
na equação acima para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a equação padrão da hipérbole:
Para simplificar, multiplicamos o denominador da segunda fração:
Resposta
A equação da hipérbole é:
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Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são
e o ponto
pertence à hipérbole.
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Esboce os seguintes vetores no plano:
e
.
Encontre uma transformação linear
para a qual