Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são
e o ponto
pertence à hipérbole.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que escrever a equação de uma hipérbole sabendo que suas assíntotas são
e que o ponto
está na hipérbole. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles e suas assíntotas. Vamos precisar entender como as assíntotas se relacionam com a equação da hipérbole e como usar o ponto dado para encontrar os parâmetros certos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as assíntotas de uma hipérbole são retas que a hipérbole se aproxima quando
ou
tendem ao infinito. A forma geral das equações das assíntotas para uma hipérbole centralizada na origem é
, onde
e
são parâmetros que definem a forma da hipérbole.
Passo 3
No nosso caso, as assíntotas são
. Isso significa que
, ou seja,
. Vamos usar essa relação mais tarde para simplificar a equação da hipérbole.
Passo 4
A forma padrão da equação de uma hipérbole com assíntotas na forma
e centralizada na origem é:
Mas, como sabemos que
, podemos substituir
na equação:
Passo 5
Agora, temos a equação da hipérbole em termos de
. Para encontrar o valor de
, vamos usar o ponto
que está na hipérbole. Isso significa que, substituindo
e
na equação, a igualdade deve se manter.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora que encontramos
, podemos encontrar
usando
:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, substituímos de volta na equação padrão da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é:
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Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Escreva as equações das seguintes elipses: Os vértices vértices são
.
Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são
e os vértices são
.
Esboce os seguintes vetores no plano:
e
.