Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são y= pm 2 x e o ponto P=(5,6) pertence à hipérbole.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que escrever a equação de uma hipérbole sabendo que suas assíntotas são e que o ponto está na hipérbole. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles e suas assíntotas. Vamos precisar entender como as assíntotas se relacionam com a equação da hipérbole e como usar o ponto dado para encontrar os parâmetros certos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as assíntotas de uma hipérbole são retas que a hipérbole se aproxima quando ou tendem ao infinito. A forma geral das equações das assíntotas para uma hipérbole centralizada na origem é , onde e são parâmetros que definem a forma da hipérbole.

Passo 3

No nosso caso, as assíntotas são . Isso significa que , ou seja, . Vamos usar essa relação mais tarde para simplificar a equação da hipérbole.

Passo 4

A forma padrão da equação de uma hipérbole com assíntotas na forma x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e centralizada na origem é:
x^2a^2 - y^2(2a)^2 = 1 Rightarrow x^2a^2 - y^24a^2 = 1
Mas, como sabemos que , podemos substituir na equação:

Passo 5

Agora, temos a equação da hipérbole em termos de 5^2a^2 - 6^24a^2 = 1 . Para encontrar o valor de 25a^2 - 364a^2 = 1 Rightarrow 25a^2 - 9a^2 = 1 Rightarrow 16a^2 = 1 , vamos usar o ponto que está na hipérbole. Isso significa que, substituindo e na equação, a igualdade deve se manter.
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 6

Resolvendo para a^2 = 16 Rightarrow a = 4 :
b = 2 times 4 = 8
Agora que encontramos , podemos encontrar usando :

Passo 7

Com os valores de x^24^2 - y^28^2 = 1 Rightarrow x^216 - y^264 = 1 e encontrados, substituímos de volta na equação padrão da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^216 - y^264 = 1

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