Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são e o ponto pertence à hipérbole.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que escrever a equação de uma hipérbole sabendo que suas assíntotas são e que o ponto está na hipérbole. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles e suas assíntotas. Vamos precisar entender como as assíntotas se relacionam com a equação da hipérbole e como usar o ponto dado para encontrar os parâmetros certos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as assíntotas de uma hipérbole são retas que a hipérbole se aproxima quando ou tendem ao infinito. A forma geral das equações das assíntotas para uma hipérbole centralizada na origem é , onde e são parâmetros que definem a forma da hipérbole.

Passo 3

No nosso caso, as assíntotas são . Isso significa que , ou seja, . Vamos usar essa relação mais tarde para simplificar a equação da hipérbole.

Passo 4

A forma padrão da equação de uma hipérbole com assíntotas na forma e centralizada na origem é:
Mas, como sabemos que , podemos substituir na equação:

Passo 5

Agora, temos a equação da hipérbole em termos de . Para encontrar o valor de , vamos usar o ponto que está na hipérbole. Isso significa que, substituindo e na equação, a igualdade deve se manter.
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 6

Resolvendo para :
Agora que encontramos , podemos encontrar usando :

Passo 7

Com os valores de e encontrados, substituímos de volta na equação padrão da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:

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Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .
Escreva as equações das seguintes elipses: Os vértices vértices são .
Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são e os vértices são .
Esboce os seguintes vetores no plano: e .