Escreva a equação e determine os focos da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A=(3,2) e B=(1,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, os focos em um dos eixos coordenados, e passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar os conhecimentos sobre a equação da elipse e as propriedades dos seus focos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação padrão de uma elipse com centro na origem. A elipse pode estar alinhada no eixo x^2a^2 + y^2b^2 = 1 ou no eixo x^2b^2 + y^2a^2 = 1 . Se estiver alinhada no eixo , a equação é:
Se estiver alinhada no eixo , a equação é:
Aqui, é o raio maior e é o raio menor da elipse. Como os focos estão em um dos eixos coordenados, precisamos descobrir em qual deles a elipse está alinhada.

Passo 3

Vamos supor que a elipse está alinhada no eixo x^2b^2 + y^2a^2 = 1 . Então, a equação seria:
Os pontos e devem satisfazer essa equação. Vamos substituir esses pontos na equação para obter um sistema de equações.

Passo 4

Substituindo o ponto 3^2b^2 + 2^2a^2 = 1 Rightarrow 9b^2 + 4a^2 = 1 :
1^2b^2 + 4^2a^2 = 1 Rightarrow 1b^2 + 16a^2 = 1
Substituindo o ponto 9b^2 + 4a^2 = 1 1b^2 + 16a^2 = 1 :
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Podemos chamar:
1b^2 = x e 1a^2 = y
Então, as equações ficam:
9x + 4y = 1 x + 16y = 1
Agora, vamos resolver pelo método da substituição. Da segunda equação, isolamos x = 1 - 16y :
9(1 - 16y) + 4y = 1 9 - 144y + 4y = 1 -140y = -8 y = 8140 = 235
Substituindo na primeira equação:
x = 1 - 16 ( 235 ) = 1 - 3235 = 335
Agora, substituindo 1a^2 = y = 235 Rightarrow a^2 = 352 1b^2 = x = 335 Rightarrow b^2 = 353 na expressão para :
Então,

Passo 6

Com os valores de x^2353 + y^2352 = 1 Rightarrow 3x^235 + 2y^235 = 1 Rightarrow 2y^2 + 3x^2 = 35 e c = raiza^2 - b^2 , podemos escrever a equação da elipse:
c = raiz352 - 353 = raiz105 - 706 = raiz356 = raiz2106
Agora, vamos encontrar os focos. A fórmula para a distância dos focos em relação ao centro é:
Substituindo os valores:
Como a elipse está alinhada no eixo , os focos estarão em e .

Resposta

A equação da elipse é
2y^2 + 3x^2 = 35
e os focos estão localizados nos pontos
(0, raiz2106) e (0, -raiz2106)

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