Escreva a equação e determine os focos da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, os focos em um dos eixos coordenados, e passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar os conhecimentos sobre a equação da elipse e as propriedades dos seus focos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação padrão de uma elipse com centro na origem. A elipse pode estar alinhada no eixo ou no eixo . Se estiver alinhada no eixo , a equação é:
Se estiver alinhada no eixo , a equação é:
Aqui, é o raio maior e é o raio menor da elipse. Como os focos estão em um dos eixos coordenados, precisamos descobrir em qual deles a elipse está alinhada.

Passo 3

Vamos supor que a elipse está alinhada no eixo . Então, a equação seria:
Os pontos e devem satisfazer essa equação. Vamos substituir esses pontos na equação para obter um sistema de equações.

Passo 4

Substituindo o ponto :
Substituindo o ponto :
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Podemos chamar:
Então, as equações ficam:
Agora, vamos resolver pelo método da substituição. Da segunda equação, isolamos :
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão para :
Então,

Passo 6

Com os valores de e , podemos escrever a equação da elipse:
Agora, vamos encontrar os focos. A fórmula para a distância dos focos em relação ao centro é:
Substituindo os valores:
Como a elipse está alinhada no eixo , os focos estarão em e .

Resposta

A equação da elipse é
e os focos estão localizados nos pontos

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