Escreva a equação e determine os focos da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, os focos em um dos eixos coordenados, e passa pelos pontos
e
. Para isso, vamos usar os conhecimentos sobre a equação da elipse e as propriedades dos seus focos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação padrão de uma elipse com centro na origem. A elipse pode estar alinhada no eixo
ou no eixo
. Se estiver alinhada no eixo
, a equação é:
Se estiver alinhada no eixo
, a equação é:
Aqui,
é o raio maior e
é o raio menor da elipse. Como os focos estão em um dos eixos coordenados, precisamos descobrir em qual deles a elipse está alinhada.
Passo 3
Vamos supor que a elipse está alinhada no eixo
. Então, a equação seria:
Os pontos
e
devem satisfazer essa equação. Vamos substituir esses pontos na equação para obter um sistema de equações.
Passo 4
Substituindo o ponto
:
Substituindo o ponto
:
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Podemos chamar:
Então, as equações ficam:
Agora, vamos resolver pelo método da substituição. Da segunda equação, isolamos
:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Então,
Passo 6
Com os valores de
e
, podemos escrever a equação da elipse:
Agora, vamos encontrar os focos. A fórmula para a distância dos focos
em relação ao centro é:
Substituindo os valores:
Como a elipse está alinhada no eixo
, os focos estarão em
e
.
Resposta
A equação da elipse é
e os focos estão localizados nos pontos