Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base ordenada β de tal que a matriz da transformação linear em relação a essa base seja:
Isso envolve conceitos de transformação linear, bases e matrizes de transformação. Para resolver, vamos precisar entender como uma base afeta a representação matricial de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes. A matriz de uma transformação linear em relação a uma base β é construída aplicando a cada vetor da base e expressando os resultados como combinações lineares dos vetores da base.
Passo 3
A matriz dada:
indica que deixa inalterados os primeiros e terceiros vetores da base (já que os coeficientes são 1 nas diagonais) e mapeia o segundo vetor para o vetor zero.
Passo 4
Isso sugere que na base β, o primeiro e o terceiro vetores são vetores próprios de com autovalores 1, e o segundo vetor está no núcleo de (já que o envia para zero).
Passo 5
Para construir β, vamos escolher dois vetores próprios de correspondentes aos autovalores 1 e um vetor que esteja no núcleo de .
Passo 6
Vamos supor que seja tal que:
Onde , , e são os vetores da base β que queremos encontrar.
Passo 7
Escolhemos e como vetores próprios, já que são facilmente vetores da base padrão que permanecem inalterados por .
Passo 8
Para , que precisa estar no núcleo de , podemos escolher qualquer vetor que seja mapeado para zero. Um bom candidato é .
Passo 9
Verificando a independência linear dos vetores escolhidos:
Esses vetores são claramente lineares e formam a base padrão de .
Resposta
Portanto, uma base ordenada que satisfaz a condição é: