Sejam e bases de Obter:
As coordenadas do vetor em relação a cada uma das quatro bases.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A gente tem um vetor e quatro bases diferentes de . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor em cada uma dessas bases. Para isso, vamos precisar saber como expressar um vetor em termos das bases dadas, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores das bases, resultam no vetor . Vamos usar um pouco de sistemas de equações lineares para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar com a primeira base, . Essa é a base canônica, onde os vetores são os eixos x e y. Queremos encontrar números e tais que:
Isso se traduz nas equações:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 3

Agora vamos para a segunda base, . Queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Passo 4

Seguimos para a terceira base, . Precisamos achar e tais que:
Isso nos dá:
Simplificando a primeira equação:
E a segunda equação:
Agora temos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 5

Por fim, vamos para a quarta base, . Queremos encontrar e tais que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor em relação às bases são:
  • Na base :
  • Na base :
  • Na base :
  • Na base :

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