Sejam
e
bases de
Obter:
As coordenadas do vetor
em relação a cada uma das quatro bases.
As coordenadas do vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear! A gente tem um vetor
e quatro bases diferentes de
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor em cada uma dessas bases. Para isso, vamos precisar saber como expressar um vetor em termos das bases dadas, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores das bases, resultam no vetor
. Vamos usar um pouco de sistemas de equações lineares para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar com a primeira base,
. Essa é a base canônica, onde os vetores são os eixos x e y. Queremos encontrar números
e
tais que:
Isso se traduz nas equações:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 3
Agora vamos para a segunda base,
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso nos dá o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 4
Seguimos para a terceira base,
. Precisamos achar
e
tais que:
Isso nos dá:
Simplificando a primeira equação:
E a segunda equação:
Agora temos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 5
Por fim, vamos para a quarta base,
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação às bases são:
- Na base
: - Na base
: - Na base
: - Na base
:
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Sejam
e
bases de
Obter:
As matrizes de mudança de base:
As matrizes de mudança de base:
Em cada um dos problemas indique se o sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou incompatível, para isto, encontre a solução usando comparação, adição ou substituição (se tiver dúvidas pode consultar o seguinte link: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares .
Em cada um dos problemas indique se o sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou incompatível, para isto, encontre a solução usando comparação, adição ou substituição (se tiver dúvidas pode consultar o seguinte link: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares .
Encontre uma base ordenada
de
, tal que