Encontre uma base ordenada de , tal que

Passo 1

Beleza, vamos destrinchar o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma base ordenada de tal que a matriz da transformação linear nessa base seja a matriz diagonal que tem 1, 1 e -1 na diagonal principal. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases próprias e valores próprios de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base própria é formada por vetores que são direitos próprios da transformação . Isso significa que quando aplicamos a esses vetores, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um valor próprio correspondente. No nosso caso, os valores próprios são 1, 1 e -1.

Passo 3

Então, precisamos encontrar três vetores em que satisfaçam as seguintes condições:
  1. Dois desses vetores devem ser próprios associados ao valor próprio 1.
  2. O terceiro vetor deve ser próprio associado ao valor próprio -1.
  3. Esses vetores devem ser linearmente independentes para formar uma base.

Passo 4

Vamos escolher vetores que atendam a essas condições. Para facilitar, podemos escolher os vetores canônicos, já que eles são facilmente verificáveis.
  • Vetor 1 ( ): — vamos verificar se é próprio de com valor próprio 1.
  • Vetor 2 ( ): — também vai ser próprio de com valor próprio 1.
  • Vetor 3 ( ): — vamos verificar se é próprio de com valor próprio -1.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a cada um desses vetores e ver se eles satisfazem as condições:
Viu só? Cada vetor foi escalado pelo seu respectivo valor próprio.

Passo 6

Como os vetores , e são linearmente independentes e satisfazem as condições de serem próprios de com os valores próprios 1, 1 e -1, respectivamente, eles formam a base que a questão pede.

Resposta

A base ordenada de que satisfaz a condição dada é:

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