Beleza, vamos destrinchar o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma base ordenada de tal que a matriz da transformação linear nessa base seja a matriz diagonal que tem 1, 1 e -1 na diagonal principal. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases próprias e valores próprios de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base própria é formada por vetores que são direitos próprios da transformação . Isso significa que quando aplicamos a esses vetores, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um valor próprio correspondente. No nosso caso, os valores próprios são 1, 1 e -1.
Passo 3
Então, precisamos encontrar três vetores em que satisfaçam as seguintes condições:
Dois desses vetores devem ser próprios associados ao valor próprio 1.
O terceiro vetor deve ser próprio associado ao valor próprio -1.
Esses vetores devem ser linearmente independentes para formar uma base.
Passo 4
Vamos escolher vetores que atendam a essas condições. Para facilitar, podemos escolher os vetores canônicos, já que eles são facilmente verificáveis.
Vetor 1 (): — vamos verificar se é próprio de com valor próprio 1.
Vetor 2 (): — também vai ser próprio de com valor próprio 1.
Vetor 3 (): — vamos verificar se é próprio de com valor próprio -1.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a cada um desses vetores e ver se eles satisfazem as condições:
Viu só? Cada vetor foi escalado pelo seu respectivo valor próprio.
Passo 6
Como os vetores , e são linearmente independentes e satisfazem as condições de serem próprios de com os valores próprios 1, 1 e -1, respectivamente, eles formam a base que a questão pede.
Resposta
A base ordenada de que satisfaz a condição dada é: