Encontre uma base ortonormal que permita identificar a cônica abaixo e identifique-a:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal no espaço que nos ajude a identificar a cônica dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases ortonormais e transformação de coordenadas, além de conhecimentos sobre cônicas. Vamos precisar revisar como identificar diferentes tipos de cônicas e como mudar a base para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da cônica: . Queremos reescrever essa equação de uma forma que facilite a identificação da cônica. Para isso, podemos completar o quadrado ou usar uma mudança de coordenadas.
Vamos reescrever a equação:
Podemos tentar isolar os termos:
Agora, somamos 1 em ambos os lados para facilitar a fatoração:
Observe que o lado esquerdo pode ser fatorado:
Essa forma nos dá uma ideia melhor da relação entre e , mas ainda precisamos identificar o tipo de cônica.

Passo 3

Para identificar a cônica, vamos analisar a equação geral de uma cônica:
Comparando com a equação dada , temos:
O discriminante da cônica é dado por:
Substituindo os valores:
Como , sabemos que a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma base ortonormal que simplifique a equação da hipérbole. Para isso, podemos realizar uma rotação dos eixos para eliminar o termo de .
A rotação dos eixos é dada por:
Queremos escolher de modo que o termo desapareça na nova equação. Usamos a fórmula para eliminar o termo cruzado:
Substituindo , , e :
Isso indica que , pois é indefinido, o que nos leva a .
Usando , a matriz de rotação é:
Essa matriz forma uma base ortonormal , onde:

Resposta

A base ortonormal que simplifica a equação da cônica é:
Com essa base, a equação representa uma hipérbole.

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(a) Use a lei dos cossenos para mostrar que


(b) Se e e , ache e
© Estabeleça condições sobre os vetores de modo que
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Se e , calcule .