Encontre uma base ortonormal
que permita identificar a cônica abaixo e identifique-a:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal
no espaço
que nos ajude a identificar a cônica dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases ortonormais e transformação de coordenadas, além de conhecimentos sobre cônicas. Vamos precisar revisar como identificar diferentes tipos de cônicas e como mudar a base para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da cônica:
. Queremos reescrever essa equação de uma forma que facilite a identificação da cônica. Para isso, podemos completar o quadrado ou usar uma mudança de coordenadas.
Vamos reescrever a equação:
Podemos tentar isolar os termos:
Agora, somamos 1 em ambos os lados para facilitar a fatoração:
Observe que o lado esquerdo pode ser fatorado:
Essa forma nos dá uma ideia melhor da relação entre
e
, mas ainda precisamos identificar o tipo de cônica.
Passo 3
Para identificar a cônica, vamos analisar a equação geral de uma cônica:
Comparando com a equação dada
, temos:
O discriminante da cônica é dado por:
Substituindo os valores:
Como
, sabemos que a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base ortonormal que simplifique a equação da hipérbole. Para isso, podemos realizar uma rotação dos eixos para eliminar o termo de
.
A rotação dos eixos é dada por:
Queremos escolher
de modo que o termo
desapareça na nova equação. Usamos a fórmula para eliminar o termo cruzado:
Substituindo
,
, e
:
Isso indica que
, pois
é indefinido, o que nos leva a
.
Usando
, a matriz de rotação é:
Essa matriz forma uma base ortonormal
, onde:
Resposta
A base ortonormal
que simplifica a equação da cônica é:
Com essa base, a equação
representa uma hipérbole.
Exercícios relacionados
Encontre o vetor
, com
, colinear(paralelo) e de sentido contrário ao de
.
Uma forma bilinear
é dita anti-simétrica se
. Seja
uma forma bilinear anti-simétrica. Mostre que:
Se for uma forma bilinear tal que
for uma matriz anti-simétrica para alguma base
, então
é uma forma bilinear anti-simétrica;
Se
Sejam
e
vetores não nulos, e
o ângulo entre esses vetores.
(a) Use a lei dos cossenos para mostrar que
(b) Se e
e
, ache
e
© Estabeleça condições sobre os vetores de modo que
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(a) Use a lei dos cossenos para mostrar que
(b) Se
© Estabeleça condições sobre os vetores
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Se
e
, calcule
.