Encontre uma base ortonormal beta subset R^2 que permita identificar a cônica abaixo e identifique-a:
x y+x+y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortonormal no espaço que nos ajude a identificar a cônica dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases ortonormais e transformação de coordenadas, além de conhecimentos sobre cônicas. Vamos precisar revisar como identificar diferentes tipos de cônicas e como mudar a base para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da cônica: xy + x + y = 0 . Queremos reescrever essa equação de uma forma que facilite a identificação da cônica. Para isso, podemos completar o quadrado ou usar uma mudança de coordenadas.
Vamos reescrever a equação:
xy = -x - y
Podemos tentar isolar os termos:
xy + x + y + 1 = 1
Agora, somamos 1 em ambos os lados para facilitar a fatoração:
(x + 1)(y + 1) = 1
Observe que o lado esquerdo pode ser fatorado:
Essa forma nos dá uma ideia melhor da relação entre e , mas ainda precisamos identificar o tipo de cônica.

Passo 3

Para identificar a cônica, vamos analisar a equação geral de uma cônica:
A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0
Comparando com a equação dada De, temos:
  • De
O discriminante da cônica é dado por:
Substituindo os valores:
Como , sabemos que a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma base ortonormal que simplifique a equação da hipérbole. Para isso, podemos realizar uma rotação dos eixos para eliminar o termo de x = x' cos theta - y' sin theta .
A rotação dos eixos é dada por:
y = x' sin theta + y' cos theta
tan 2theta = BA - C
Queremos escolher tan 2theta = 10 - 0 de modo que o termo R = 1raiz2 1 & -1 1 & 1 desapareça na nova equação. Usamos a fórmula para eliminar o termo cruzado:
u = 1raiz2 (1, 1)
Substituindo v = 1raiz2 (-1, 1) , , e :
Isso indica que , pois é indefinido, o que nos leva a .
Usando , a matriz de rotação é:
Essa matriz forma uma base ortonormal , onde:

Resposta

A base ortonormal beta = 1raiz2 (1, 1), 1raiz2 (-1, 1) que simplifica a equação da cônica é:
Com essa base, a equação representa uma hipérbole.

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