Uma forma bilinear
é dita anti-simétrica se
. Seja
uma forma bilinear anti-simétrica. Mostre que:
Se
for uma forma bilinear tal que
for uma matriz anti-simétrica para alguma base
, então
é uma forma bilinear anti-simétrica;
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre formas bilineares anti-simétricas. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que pega dois vetores e retorna um número, respeitando certas propriedades de linearidade. Anti-simétrica significa que se você trocar as posições dos vetores, o resultado muda de sinal. A gente precisa mostrar que, se uma forma bilinear
tem uma matriz anti-simétrica em alguma base, então
em si também é anti-simétrica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e propriedades de formas bilineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz
é anti-simétrica se, para todo
e
, temos:
onde
é a base
. Isso significa que os elementos da matriz são tais que a transposta da matriz é igual ao negativo dela mesma.
Passo 3
Agora, vamos considerar quaisquer vetores
e
em
. Como
é bilinear, podemos escrever:
Então, calculamos
:
Usando a propriedade da matriz anti-simétrica:
Então,
Resposta
Portanto, mostramos que
para quaisquer vetores
e
em
. Assim,
é uma forma bilinear anti-simétrica.