Uma forma bilinear é dita anti-simétrica se . Seja uma forma bilinear anti-simétrica. Mostre que:
Se for uma forma bilinear tal que for uma matriz anti-simétrica para alguma base , então é uma forma bilinear anti-simétrica;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre formas bilineares anti-simétricas. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que pega dois vetores e retorna um número, respeitando certas propriedades de linearidade. Anti-simétrica significa que se você trocar as posições dos vetores, o resultado muda de sinal. A gente precisa mostrar que, se uma forma bilinear tem uma matriz anti-simétrica em alguma base, então em si também é anti-simétrica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e propriedades de formas bilineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz é anti-simétrica se, para todo e , temos:
onde é a base . Isso significa que os elementos da matriz são tais que a transposta da matriz é igual ao negativo dela mesma.
Passo 3
Agora, vamos considerar quaisquer vetores e em . Como é bilinear, podemos escrever:
Então, calculamos :
Usando a propriedade da matriz anti-simétrica:
Então,
Resposta
Portanto, mostramos que para quaisquer vetores e em . Assim, é uma forma bilinear anti-simétrica.