Uma forma bilinear B: V times V R é dita anti-simétrica se B(u, v)=-B(v, u), forall u, v in V. Seja B: V times V R uma forma bilinear anti-simétrica. Mostre que:
Se G: V times V R for uma forma bilinear tal que [G]alpha^alpha for uma matriz anti-simétrica para alguma base alpha subset V, então G é uma forma bilinear anti-simétrica;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre formas bilineares anti-simétricas. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que pega dois vetores e retorna um número, respeitando certas propriedades de linearidade. Anti-simétrica significa que se você trocar as posições dos vetores, o resultado muda de sinal. A gente precisa mostrar que, se uma forma bilinear tem uma matriz anti-simétrica em alguma base, então em si também é anti-simétrica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e propriedades de formas bilineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz G(ei, ej) = -G(ej, ei) é anti-simétrica se, para todo e , temos:
onde é a base . Isso significa que os elementos da matriz são tais que a transposta da matriz é igual ao negativo dela mesma.

Passo 3

Agora, vamos considerar quaisquer vetores u = sumi=1^n ui ei e v = sumj=1^n vj ej e G(u, v) = G( sumi=1^n ui ei, sumj=1^n vj ej ) = sumi=1^n sumj=1^n ui vj G(ei, ej) em G(ei, ej) = -G(ej, ei) . Como G(v, u) = sumi=1^n sumj=1^n vi uj G(ei, ej) = sumi=1^n sumj=1^n vi uj (-G(ej, ei)) = -G(u, v) é bilinear, podemos escrever:
Então, calculamos :
Usando a propriedade da matriz anti-simétrica:
Então,

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer vetores e em . Assim, é uma forma bilinear anti-simétrica.

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