Encontre o vetor b, com |b|=100, colinear(paralelo) e de sentido contrário ao de a=(16,-15,12).

Passo 1

Beleza, então temos um vetor a que é (16, -15, 12) e precisamos achar um vetor b que é paralelo a a, mas apontando na direção oposta. Além disso, b tem que ter o tamanho (ou módulo) igual a 100. Vamos usar conceitos de vetores e multiplicação por escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem paralelos e de sentidos opostos. Dois vetores são paralelos se um é um múltiplo escalar do outro. Se eles têm sentidos opostos, esse múltiplo é negativo. Então, b pode ser escrito como b = k * a, onde k é um número negativo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de k que faz o módulo de b ser 100. O módulo de b é |b| = |k| * |a|. Sabemos que |b| = 100, então podemos escrever:
100 = |k| times |a|

Passo 4

Vamos calcular o módulo de a. Para um vetor a = (a₁, a₂, a₃), o módulo é dado por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Substituindo os valores:
|a| = raiz16^2 + (-15)^2 + 12^2 = raiz256 + 225 + 144 = raiz625 = 25

Passo 5

Agora que sabemos que |\vec{a}| = 25, substituímos na equação anterior:
100 = |k| times 25
Resolvendo para |k|:
|k| = 10025 = 4
Como queremos que b seja na direção oposta de a, k deve ser negativo:
k = -4

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o vetor a por k para encontrar b:
b = -4 times (16, -15, 12) = (-64, 60, -48)

Resposta

O vetor b é (-64, 60, -48).

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