Encontre o vetor , com , colinear(paralelo) e de sentido contrário ao de .
Passo 1
Beleza, então temos um vetor a que é (16, -15, 12) e precisamos achar um vetor b que é paralelo a a, mas apontando na direção oposta. Além disso, b tem que ter o tamanho (ou módulo) igual a 100. Vamos usar conceitos de vetores e multiplicação por escalar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem paralelos e de sentidos opostos. Dois vetores são paralelos se um é um múltiplo escalar do outro. Se eles têm sentidos opostos, esse múltiplo é negativo. Então, b pode ser escrito como b = k * a, onde k é um número negativo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de k que faz o módulo de b ser 100. O módulo de b é |b| = |k| * |a|. Sabemos que |b| = 100, então podemos escrever:
Passo 4
Vamos calcular o módulo de a. Para um vetor a = (a₁, a₂, a₃), o módulo é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que sabemos que |\vec{a}| = 25, substituímos na equação anterior:
Resolvendo para |k|:
Como queremos que b seja na direção oposta de a, k deve ser negativo:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos o vetor a por k para encontrar b: