Mostrar que se
, então
.
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que se o vetor
é perpendicular ao vetor
, então o vetor
também é perpendicular ao vetor
. Aqui estamos trabalhando com vetores e a ideia de perpendicularidade, que tem a ver com o produto escalar. Para resolver isso, a gente vai usar a definição de produto escalar e algumas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são perpendiculares. Dois vetores
e
são perpendiculares, ou ortogonais, se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja,
Isso é a base para a perpendicularidade na geometria vetorial.
Passo 3
Sabemos que o produto escalar é comutativo. Isso significa que a ordem dos vetores não altera o resultado do produto escalar. Matematicamente, isso é expresso como:
Essa propriedade é fundamental para o que queremos provar.
Passo 4
Dado que
(pois
é perpendicular a
), e usando a comutatividade do produto escalar, podemos escrever:
Isso mostra que o produto escalar de
com
tamb��m é zero.
Passo 5
Como
, de acordo com a definição de perpendicularidade, isso significa que
é perpendicular a
. Portanto, se
é perpendicular a
, então
é perpendicular a
.
Resposta
Se
, então
.
Exercícios relacionados
Encontre uma base ortonormal para
constituída por autovetores de
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
a)
a)
Seja V o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a um. Mostre que a relação abaixo é um produto interno.
Identifique a cônica de equação
e faça dela um esboço. Deixe bem claro no esboço a direção dos eixos da cônica e a posição de seu centro com relação aos eixos coordenados
e
.