Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma base para o espaço vetorial . Isso significa que estamos lidando com um conjunto de vetores no plano 2D onde a segunda coordenada sempre é o dobro da primeira. O conteúdo que vamos usar aqui inclui conceitos de espaço vetorial, base e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa . Isso quer dizer que para qualquer vetor nesse espaço, a coordenada é sempre duas vezes o . Então, podemos escrever qualquer vetor desse espaço como .

Passo 3

Agora, vamos fatorar o dessa expressão: . Isso mostra que todo vetor no espaço pode ser obtido multiplicando o escalar pelo vetor .

Passo 4

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, vemos que apenas o vetor é suficiente para gerar qualquer vetor no espaço, e não precisamos de mais nenhum outro vetor para isso.

Resposta

A base para o espaço vetorial é .

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