Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma base para o espaço vetorial
. Isso significa que estamos lidando com um conjunto de vetores no plano 2D onde a segunda coordenada sempre é o dobro da primeira. O conteúdo que vamos usar aqui inclui conceitos de espaço vetorial, base e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa
. Isso quer dizer que para qualquer vetor
nesse espaço, a coordenada
é sempre duas vezes o
. Então, podemos escrever qualquer vetor desse espaço como
.
Passo 3
Agora, vamos fatorar o
dessa expressão:
. Isso mostra que todo vetor no espaço pode ser obtido multiplicando o escalar
pelo vetor
.
Passo 4
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, vemos que apenas o vetor
é suficiente para gerar qualquer vetor no espaço, e não precisamos de mais nenhum outro vetor para isso.
Resposta
A base para o espaço vetorial é
.
Exercícios relacionados
Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
.
e
.
Verifique se o conjunto
é base do espaço vetorial
.
e
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Prove que todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em
é L.D.
Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
.
e
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