Prove que todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em R^2 é L.D.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em é Linearmente Dependente (LD). Isso está relacionado ao conceito de dimensão de um espaço vetorial. Em , a dimensão é 2, o que significa que no máximo conseguimos ter 2 vetores linearmente independentes. Então, pra resolver, vamos usar esse fato sobre dimensões e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0
onde pelo menos um dos é diferente de zero.

Passo 3

Sabemos que tem dimensão 2. Isso significa que qualquer conjunto de vetores com mais de 2 vetores necessariamente tem vetores que são combinações dos outros. Se tentarmos ter 3 vetores em , não conseguimos que os três sejam independentes porque só temos 2 direções básicas no plano.

Passo 4

Para formalizar, considere três vetores v3 = a v1 + b v2 . Como o espaço tem dimensão 2, pelo Teorema da Base, apenas 2 vetores podem ser independentes. Então, o terceiro vetor deve ser uma combinação linear de e :
onde e são escalares.

Passo 5

Rearranjando a equação acima, temos:
a v1 + b v2 - v3 = 0
Aqui, , e são os coeficientes na combinação linear que resulta no vetor nulo. Como pelo menos um coeficiente ( ) é diferente de zero, isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em é Linearmente Dependente.

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