Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente justificar, sem fazer contas, por que o conjunto
não é uma base do espaço vetorial
. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de bases e dimensões em álgebra linear. Para resolver, vamos lembrar o que é uma base e quais são os requisitos para um conjunto ser uma base de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço inteiro. No caso de
, uma base ideal tem exatamente 2 vetores, porque a dimensão de
é 2.
Passo 3
Observando o conjunto
, vemos que ele contém 3 vetores. Já sabemos que em
uma base tem apenas 2 vetores. Isso já é um sinal de que algo está errado.
Passo 4
Além disso, em um espaço vetorial de dimensão 2, não é possível ter 3 vetores todos independentes. Isso porque, ao adicionar um terceiro vetor, ele necessariamente será uma combinação linear dos dois primeiros, o que significa que não serão lineares independentes.
Passo 5
Portanto, como o conjunto
tem 3 vetores em um espaço de dimensão 2, ele não pode ser uma base para
, já que não satisfaz o requisito de ter exatamente 2 vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Resposta
O conjunto
não é uma base de
porque contém mais vetores do que a dimensão do espaço, que é 2, impossibilitando que todos sejam linearmente independentes. Portanto,
não satisfaz os requisitos para ser uma base de
.
Exercícios relacionados
Prove que todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em
é L.D.
Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais.
.
(Valor 2,5 ) Determine as equaçōes da reta que contém o ponto
e é paralela à reta que contém os pontos
e
.
(Valor 2,5) Os pontos
с
saio vértices do um paralelogramo. Encontre as coordenadas do quarto vértice se o segmento de reta que conecta
a
forma uma diagoual deste paralelogramo.