Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente precisa encontrar uma base para um espaço vetorial específico. O espaço que estamos trabalhando é composto por todos os vetores
em
que satisfazem as condições
e
. Ou seja, estamos lidando com vetores onde as primeiras duas coordenadas são iguais e a terceira é sempre zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor esse conjunto de vetores. Sabemos que
, então podemos substituir
por
na expressão do vetor. E como
, a terceira coordenada sempre será zero. Assim, qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como
.
Passo 3
Agora, vamos expressar esse vetor de uma maneira que facilite encontrar uma base. Podemos fatorar o
de fora:
Isso mostra que todo vetor no espaço pode ser obtido multiplicando um escalar
por um vetor fixo
.
Passo 4
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, temos apenas um vetor
que gera todo o espaço, porque qualquer vetor do espaço é um múltiplo desse vetor.
Passo 5
Como só precisamos de um vetor para gerar todo o espaço e ele é não-nulo, esse vetor por si só já forma uma base. Além disso, não temos mais vetores, então não há dependência linear a considerar.
Resposta
Uma base para o espaço vetorial
é
.
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não é base de
.
e
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.
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Verifique se
pertence ao subespaço vetorial
.
e
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.
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