Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente precisa encontrar uma base para um espaço vetorial específico. O espaço que estamos trabalhando é composto por todos os vetores em que satisfazem as condições e . Ou seja, estamos lidando com vetores onde as primeiras duas coordenadas são iguais e a terceira é sempre zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor esse conjunto de vetores. Sabemos que , então podemos substituir por na expressão do vetor. E como , a terceira coordenada sempre será zero. Assim, qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, vamos expressar esse vetor de uma maneira que facilite encontrar uma base. Podemos fatorar o de fora:
Isso mostra que todo vetor no espaço pode ser obtido multiplicando um escalar por um vetor fixo .

Passo 4

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, temos apenas um vetor que gera todo o espaço, porque qualquer vetor do espaço é um múltiplo desse vetor.

Passo 5

Como só precisamos de um vetor para gerar todo o espaço e ele é não-nulo, esse vetor por si só já forma uma base. Além disso, não temos mais vetores, então não há dependência linear a considerar.

Resposta

Uma base para o espaço vetorial é .

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