Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
.
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
no espaço tridimensional
. A matéria que vamos usar aqui é a teoria das bases em espaços vetoriais. Para justificar por que
não é uma base de
, vamos precisar saber o que é uma base: um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores ser uma base de
, ele precisa ter exatamente três vetores, o que o conjunto
já tem. Mas não basta só ter três vetores, eles também precisam ser linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Observando os vetores em
, vemos que o terceiro vetor
pode ser obtido somando o primeiro vetor
com o segundo vetor
. Em termos matemáticos, isso seria
.
Passo 4
Como o terceiro vetor é uma combinação dos outros dois, isso significa que os três vetores não são linearmente independentes. Já que a base exige que os vetores sejam linearmente independentes, o conjunto
não atende a esse requisito.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é uma base de
porque seus vetores são linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
.
Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
.
e
.
Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais.
.
Verifique se
pertence ao subespaço vetorial
.
e
.