Encontre o espaço gerado pelo conjunto
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e precisamos encontrar o espaço gerado por esse conjunto. Isso está relacionado ao estudo de álgebra linear, especificamente ao conceito de espaço vetorial.
Passo 2
O espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, queremos descobrir todos os possíveis vetores que podemos formar usando
e
com diferentes multiplicadores.
Passo 3
Para determinar o espaço gerado, precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes ou dependentes. Se forem independentes, eles conseguem “preencher” o espaço todo
. Se forem dependentes, o espaço gerado será apenas uma linha específica no plano.
Passo 4
Para verificar se os vetores são independentes, podemos calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
A matriz com os vetores de
é:
O determinante dessa matriz é:
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero (
), concluímos que os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como os vetores são linearmente independentes e pertencem ao espaço
, o espaço gerado por eles é todo o
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Resposta
O espaço gerado pelo conjunto
é todo o
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Exercícios relacionados
Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
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e
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Verifique se o conjunto
é base do espaço vetorial
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e
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Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
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e
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Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais.
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