Sejam definidos, respectivamente, por e . Determine: a) , b) e . ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos dá duas funções lineares e que operam no espaço tridimensional . Precisamos:
a) Encontrar a composição dessas funções, .
b) Determinar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) dessa composição.
Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares, composição de funções e propriedades de núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa compor duas funções lineares. A composição significa que primeiro aplicamos e depois no resultado. Ou seja, para qualquer vetor em :
Passo 3
Vamos calcular usando a definição dada:
Então, substituímos isso na função :
Passo 4
Agora, aplicamos a função aos componentes de :
Substituindo , e :
Passo 5
Vamos simplificar cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente permanece:
Então, a composição é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de vetores que satisfazem:
Ou seja, resolvemos o sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Isso nos mostra que é livre. Então, podemos expressar as soluções como:
Passo 8
Portanto, o núcleo de é:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em .
A composição já foi encontrada como:
Podemos representar essa transformação como uma matriz:
Para encontrar a imagem, determinamos o posto (rank) dessa matriz.
Passo 10
Vamos reduzir a matriz para a forma escalonada:
O posto da matriz é 2, o que significa que a imagem é um subespaço bidimensional de .
Podemos expressar a imagem como o conjunto de combinações lineares das duas primeiras colunas da matriz original: