Sejam definidos, respectivamente, por e . Determine: a) , b) e . ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos dá duas funções lineares e que operam no espaço tridimensional . Precisamos:
a) Encontrar a composição dessas funções, .
b) Determinar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) dessa composição.
Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares, composição de funções e propriedades de núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa compor duas funções lineares. A composição significa que primeiro aplicamos e depois no resultado. Ou seja, para qualquer vetor em :

Passo 3

Vamos calcular usando a definição dada:
Então, substituímos isso na função :

Passo 4

Agora, aplicamos a função aos componentes de :
Substituindo , e :

Passo 5

Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeiro componente:
  1. Segundo componente:
  1. Terceiro componente permanece:
Então, a composição é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de vetores que satisfazem:
Ou seja, resolvemos o sistema:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  1. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na primeira equação:
Isso nos mostra que é livre. Então, podemos expressar as soluções como:

Passo 8

Portanto, o núcleo de é:

Passo 9

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em .
A composição já foi encontrada como:
Podemos representar essa transformação como uma matriz:
Para encontrar a imagem, determinamos o posto (rank) dessa matriz.

Passo 10

Vamos reduzir a matriz para a forma escalonada:
O posto da matriz é 2, o que significa que a imagem é um subespaço bidimensional de .
Podemos expressar a imagem como o conjunto de combinações lineares das duas primeiras colunas da matriz original:

Resposta

a) A composição é dada por:
b) O núcleo e a imagem de são:

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