Sejam F, G in L(R^3) definidos, respectivamente, por F(x, y, z)=(x+y, z+y, z) e G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z). Determine: a) F circ G, b) Ker(F circ G) e Im(F circ G). (0,5 ponto )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão nos dá duas funções lineares e que operam no espaço tridimensional . Precisamos:
a) Encontrar a composição dessas funções, .
b) Determinar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) dessa composição.
Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares, composição de funções e propriedades de núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa compor duas funções lineares. A composição F circ G (v) = F(G(x, y, z)) significa que primeiro aplicamos e depois no resultado. Ou seja, para qualquer vetor em :

Passo 3

Vamos calcular G(x, y, z) = (x + 2y,, y - z,, x + 2z) usando a definição dada:
F(G(x, y, z)) = F(x + 2y,, y - z,, x + 2z)
Então, substituímos isso na função :

Passo 4

Agora, aplicamos a função F(a, b, c) = (a + b,, c + b,, c) aos componentes de F(x + 2y,, y - z,, x + 2z) = ((x + 2y) + (y - z),, (x + 2z) + (y - z),, x + 2z) :
Substituindo , e :

Passo 5

Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeiro componente:
(x + 2y) + (y - z) = x + 3y - z
  1. Segundo componente:
(x + 2z) + (y - z) = x + y + z
  1. Terceiro componente permanece:
x + 2z
Então, a composição F circ G (x, y, z) = (x + 3y - z,, x + y + z,, x + 2z) é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o núcleo de F circ G (x, y, z) = (0, 0, 0) , que é o conjunto de vetores x + 3y - z = 0 x + y + z = 0 x + 2z = 0 que satisfazem:
Ou seja, resolvemos o sistema:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
x = -2z
  1. Substituindo -2z + y + z = 0 Rightarrow y - z = 0 Rightarrow y = z na segunda equação:
-2z + 3z - z = 0 Rightarrow 0 = 0
  1. Substituindo (x, y, z) = (-2z,, z,, z) = z cdot (-2,, 1,, 1) e na primeira equação:
Isso nos mostra que é livre. Então, podemos expressar as soluções como:

Passo 8

Portanto, o núcleo de Ker(F circ G) = z cdot (-2,, 1,, 1) mid z in R é:

Passo 9

Agora, vamos encontrar a imagem de F circ G (x, y, z) = (x + 3y - z,, x + y + z,, x + 2z) . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando A = 1 & 3 & -1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 a algum vetor em .
A composição já foi encontrada como:
Podemos representar essa transformação como uma matriz:
Para encontrar a imagem, determinamos o posto (rank) dessa matriz.

Passo 10

Vamos reduzir a matriz 1 & 3 & -1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 1 & 3 & -1 0 & -2 & 2 0 & -3 & 3 1 & 3 & -1 0 & -2 & 2 0 & 0 & 0 para a forma escalonada:
Im(F circ G) = a cdot (1, 1, 1) + b cdot (3, 1, 0) mid a, b in R
O posto da matriz é 2, o que significa que a imagem é um subespaço bidimensional de .
Podemos expressar a imagem como o conjunto de combinações lineares das duas primeiras colunas da matriz original:

Resposta

a) A composição F circ G (x, y, z) = (x + 3y - z,; x + y + z,; x + 2z) é dada por:
Ker(F circ G) = z cdot (-2,; 1,; 1) mid z in R
b) O núcleo e a imagem de Im(F circ G) = a cdot (1,; 1,; 1) + b cdot (3,; 1,; 0) mid a, b in R são:

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