Encontre uma base para o subespaço : e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para o subespaço no espaço . Temos que:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e subespaços vetoriais.

Passo 2

Para encontrar a interseção , precisamos achar todos os vetores que satisfazem ambas as equações:
Isso significa que estamos procurando soluções que resolvam esse sistema simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações. Uma estratégia fácil é somar ou subtrair as equações para eliminar uma variável. Aqui, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Então, descobrimos que deve ser zero para que ambas as equações sejam satisfeitas.

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar uma relação entre e . Vamos usar a primeira equação:
Isso nos mostra que é igual a .

Passo 5

Com e , podemos expressar os vetores na interseção da seguinte forma:
Aqui, pode ser qualquer número real, então todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor .

Passo 6

Isso significa que o subespaço é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para esse subespaço é simplesmente esse vetor.

Resposta

Uma base para é .

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(a) , .
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