Encontre uma base para o subespaço W1 cap W2: V=R^3, W1=(x, y, z) in V: x+y+z=0 e W2=(x, y, z) in V: x+y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para o subespaço no espaço . Temos que:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e subespaços vetoriais.

Passo 2

Para encontrar a interseção x + y + z = 0 x + y - z = 0 , precisamos achar todos os vetores que satisfazem ambas as equações:
Isso significa que estamos procurando soluções que resolvam esse sistema simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações. Uma estratégia fácil é somar ou subtrair as equações para eliminar uma variável. Aqui, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
(x + y + z) - (x + y - z) = 0 - 0 Rightarrow 2z = 0 Rightarrow z = 0
Então, descobrimos que deve ser zero para que ambas as equações sejam satisfeitas.

Passo 4

Agora que sabemos que x + y + 0 = 0 Rightarrow x + y = 0 Rightarrow y = -x , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar uma relação entre e . Vamos usar a primeira equação:
Isso nos mostra que é igual a .

Passo 5

Com (x, y, z) = (x, -x, 0) = x cdot (1, -1, 0) e , podemos expressar os vetores na interseção da seguinte forma:
Aqui, pode ser qualquer número real, então todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor .

Passo 6

Isso significa que o subespaço é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para esse subespaço é simplesmente esse vetor.

Resposta

Uma base para é .

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