Encontre uma base para o subespaço
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base para o subespaço
no espaço
. Temos que:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e subespaços vetoriais.
Passo 2
Para encontrar a interseção
, precisamos achar todos os vetores
que satisfazem ambas as equações:
Isso significa que estamos procurando soluções que resolvam esse sistema simultaneamente.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações. Uma estratégia fácil é somar ou subtrair as equações para eliminar uma variável. Aqui, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Então, descobrimos que
deve ser zero para que ambas as equações sejam satisfeitas.
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar uma relação entre
e
. Vamos usar a primeira equação:
Isso nos mostra que
é igual a
.
Passo 5
Com
e
, podemos expressar os vetores na interseção
da seguinte forma:
Aqui,
pode ser qualquer número real, então todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor
.
Passo 6
Isso significa que o subespaço
é gerado pelo vetor
. Portanto, uma base para esse subespaço é simplesmente esse vetor.
Resposta
Uma base para
é
.
Exercícios relacionados
Verifique se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
:
e
.
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se
.
(a) ,
.
(a)
Seja
um subconjunto de
. Mostre que
e encontre
.
Seja
uma matriz quadrada. Definimos o traço de
, por
:
?