Seja
um subconjunto de
. Mostre que
e encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta o conjunto
que está dentro de
, o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. A tarefa é mostrar que
é um subespaço de
(ou seja,
) e descobrir a dimensão de
. Para isso, vamos precisar entender as propriedades de subespaços vetoriais e como determinar a dimensão de um conjunto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é o polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, ou seja,
.
No conjunto
, se escolhermos
e
, temos:
Portanto,
contém o vetor zero.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
:
Somando esses dois polinômios:
Para
estar em
, precisamos que exista algum
e
reais tais que:
Vemos que
e
, que são reais. Portanto, a soma está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um elemento qualquer de
e um escalar
:
Multiplicando por
:
Para
estar em
, precisamos que exista algum
e
reais tais que:
Aqui,
e
, que são reais. Portanto, a multiplicação por escalar está em
.
Passo 6
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que
é de fato um subespaço de
, ou seja,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a dimensão de
. A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço, ou seja, o número mínimo de vetores que geram todo o subespaço.
No conjunto
, cada polinômio é da forma
. Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer elemento de
pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios
e
. Vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes.
- Se
para algum , então e .
Como os vetores são linearmente independentes e geram
, eles formam uma base para
.
Resposta
Portanto, a dimensão de
é 2, ou seja,
.