Seja W=p(t)=b+a t^2: a, b in R um subconjunto de P2. Mostre que W <= P2 e encontre dim(W).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta o conjunto que está dentro de , o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. A tarefa é mostrar que é um subespaço de (ou seja, ) e descobrir a dimensão de . Para isso, vamos precisar entender as propriedades de subespaços vetoriais e como determinar a dimensão de um conjunto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em p(t) = 0 + 0 cdot t^2 = 0 é o polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, ou seja, .
No conjunto , se escolhermos e , temos:
Portanto, contém o vetor zero.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de p1(t) = b1 + a1 t^2 :
p2(t) = b2 + a2 t^2
p1(t) + p2(t) = (b1 + b2) + (a1 + a2) t^2
Somando esses dois polinômios:
p1(t) + p2(t) = b + a t^2
Para estar em , precisamos que exista algum e reais tais que:
Vemos que e , que são reais. Portanto, a soma está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um elemento qualquer de p(t) = b + a t^2 e um escalar k cdot p(t) = k b + k a t^2 :
k cdot p(t) = b' + a' t^2
Multiplicando por :
Para estar em , precisamos que exista algum e reais tais que:
Aqui, e , que são reais. Portanto, a multiplicação por escalar está em .

Passo 6

Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial estão satisfeitas, concluímos que é de fato um subespaço de , ou seja, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a dimensão de p(t) = b cdot 1 + a cdot t^2 . A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço, ou seja, o número mínimo de vetores que geram todo o subespaço.
No conjunto , cada polinômio é da forma . Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer elemento de pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Vamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes.
  • Se para algum , então e .
Como os vetores são linearmente independentes e geram , eles formam uma base para .

Resposta

Portanto, a dimensão de é 2, ou seja, .

Exercícios relacionados