Encontre uma base para o subespaço e estenda a uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um subespaço de definido pelas soluções das duas equações lineares:
Nosso objetivo é encontrar uma base para esse subespaço e depois estender essa base para uma base de todo o espaço . Para resolver isso, vamos:
  1. Resolver o sistema de equações para encontrar as soluções em termos de parâmetros livres.
  2. Determinar vetores que formam uma base para .
  3. Encontrar vetores adicionais para completar a base de .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações. Vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz.

Passo 3

Vamos eliminar o da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 4

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por para que o coeficiente de seja 1:
Calculando:
Agora, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o da primeira linha usando a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à primeira linha:
Calculando:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a primeira linha dividindo-a por 3:
Calculando:
Então, a matriz final fica:

Passo 7

Agora, temos as soluções expressas em termos de e , que serão nossos parâmetros livres. Vamos definir:
Então, a partir da primeira equação:
E da segunda equação:

Passo 8

Agora, podemos expressar as soluções em termos dos parâmetros e :
Podemos reescrever esse sistema como uma combinação linear de e :

Passo 9

Os vetores que multiplicam os parâmetros e formam uma base para o subespaço . Portanto, uma base para é:

Passo 10

Agora, para estender essa base para uma base de , precisamos adicionar mais vetores que não estejam no subespaço . Vamos escolher vetores que sejam linearmente independentes dos vetores já da base de . Um método comum é escolher os vetores canônicos e , mas já temos componentes e na base de , então vamos escolher outros vetores.
Vamos escolher, por exemplo:

Resposta

Uma base para o subespaço é:
Estendendo essa base para uma base de , temos:

Exercícios relacionados

Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como uma combinação linear desses polinômios.
Uma indústria produz três tipos diferentes de produtos químicos: A, B e C. Cada produto deve passar por duas máquinas processadoras X e Y. Os produtos exigem os seguintes tempos das máquinas X e Y .
  • Uma tonelada do produto A exige 2 horas na máquina X e 2 horas na Y.
  • Uma tonelada do produto B exige 3 horas na máquina X e 2 horas na Y.
  • Uma tonelada do produto C exige 4 horas na máquina X e 3 horas na Y .
    A máquina X está disponível 80 horas por semana e, a máquina horas por semana. Como a gerência não deseja manter inativas as máquinas X e Y , gostaria de saber quantas toneladas de cada produto deve fabricar a fim de que as máquinas sejam totalmente utilizadas. Supõe-se que a indústria consegue vender toda sua produção.
No espaço vetorial verifique se os polinômios formam uma base de :
Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .