Encontre uma base para o subespaço e estenda a uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um subespaço de definido pelas soluções das duas equações lineares:
Nosso objetivo é encontrar uma base para esse subespaço e depois estender essa base para uma base de todo o espaço . Para resolver isso, vamos:
Resolver o sistema de equações para encontrar as soluções em termos de parâmetros livres.
Determinar vetores que formam uma base para .
Encontrar vetores adicionais para completar a base de .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações. Vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz.
Passo 3
Vamos eliminar o da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 4
Vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por para que o coeficiente de seja 1:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o da primeira linha usando a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à primeira linha:
Calculando:
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a primeira linha dividindo-a por 3:
Calculando:
Então, a matriz final fica:
Passo 7
Agora, temos as soluções expressas em termos de e , que serão nossos parâmetros livres. Vamos definir:
Então, a partir da primeira equação:
E da segunda equação:
Passo 8
Agora, podemos expressar as soluções em termos dos parâmetros e :
Podemos reescrever esse sistema como uma combinação linear de e :
Passo 9
Os vetores que multiplicam os parâmetros e formam uma base para o subespaço . Portanto, uma base para é:
Passo 10
Agora, para estender essa base para uma base de , precisamos adicionar mais vetores que não estejam no subespaço . Vamos escolher vetores que sejam linearmente independentes dos vetores já da base de . Um método comum é escolher os vetores canônicos e , mas já temos componentes e na base de , então vamos escolher outros vetores.