Encontre uma base para o subespaço (x1, x2, x3, x4) in R^4: 3 x1+x2+x3+x4=0 e 5 x1-x2+x3-x4=0 e estenda a uma base de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um subespaço 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0 5x1 - x2 + x3 - x4 = 0 de definido pelas soluções das duas equações lineares:
Nosso objetivo é encontrar uma base para esse subespaço e depois estender essa base para uma base de todo o espaço . Para resolver isso, vamos:
  1. Resolver o sistema de equações para encontrar as soluções em termos de parâmetros livres.
  2. Determinar vetores que formam uma base para .
  3. Encontrar vetores adicionais para completar a base de .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações. Vamos representar o sistema na forma de matriz aumentada:
3 & 1 & 1 & 1 & | & 0 5 & -1 & 1 & -1 & | & 0
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz.

Passo 3

Vamos eliminar o Linha 2 = Linha 2 - 53 times Linha 1 da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 5 - 53 times 3 = 5 - 5 = 0 -1 - 53 times 1 = -1 - 53 = -83 1 - 53 times 1 = 1 - 53 = -23 -1 - 53 times 1 = -1 - 53 = -83 0 - 53 times 0 = 0 e subtraímos da segunda linha:
3 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -83 & -23 & -83 & | & 0
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 4

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por Linha 2 = -38 times Linha 2 para que o coeficiente de 0 1 14 2 0 seja 1:
3 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 14 & 2 & | & 0
Calculando:
Agora, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o Linha 1 = Linha 1 - Linha 2 da primeira linha usando a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por 3 - 0 = 3 1 - 1 = 0 1 - 14 = 34 1 - 2 = -1 0 - 0 = 0 e adicionamos à primeira linha:
3 & 0 & 34 & -1 & | & 0 0 & 1 & 14 & 2 & | & 0
Calculando:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a primeira linha dividindo-a por 3:
Linha 1 = 13 times Linha 1
Calculando:
1 0 14 -13 | 0
Então, a matriz final fica:
1 & 0 & 14 & -13 & | & 0 0 & 1 & 14 & 2 & | & 0

Passo 7

Agora, temos as soluções expressas em termos de x3 = s x4 = t e x1 + 14s - 13t = 0 implies x1 = -14s + 13t , que serão nossos parâmetros livres. Vamos definir:
x2 + 14s + 2t = 0 implies x2 = -14s - 2t
Então, a partir da primeira equação:
E da segunda equação:

Passo 8

Agora, podemos expressar as soluções em termos dos parâmetros x1 = -14s + 13t x2 = -14s - 2t x3 = s x4 = t e (x1, x2, x3, x4) = s (-14, -14, 1, 0) + t (13, -2, 0, 1) :
Podemos reescrever esse sistema como uma combinação linear de e :

Passo 9

Os vetores que multiplicam os parâmetros (-14, -14, 1, 0), (13, -2, 0, 1) e formam uma base para o subespaço . Portanto, uma base para é:

Passo 10

Agora, para estender essa base para uma base de (1, 0, 0, 0) e (0, 1, 0, 0) , precisamos adicionar mais vetores que não estejam no subespaço . Vamos escolher vetores que sejam linearmente independentes dos vetores já da base de . Um método comum é escolher os vetores canônicos e , mas já temos componentes e na base de , então vamos escolher outros vetores.
Vamos escolher, por exemplo:

Resposta

Uma base para o subespaço (-14, -14, 1, 0), (13, -2, 0, 1) é:
(-14, -14, 1, 0), (13, -2, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)
Estendendo essa base para uma base de , temos:

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