Uma indústria produz três tipos diferentes de produtos químicos: A, B e C. Cada produto deve passar por duas máquinas processadoras X e Y. Os produtos exigem os seguintes tempos das máquinas X e Y .
  • Uma tonelada do produto A exige 2 horas na máquina X e 2 horas na Y.
  • Uma tonelada do produto B exige 3 horas na máquina X e 2 horas na Y.
  • Uma tonelada do produto C exige 4 horas na máquina X e 3 horas na Y .
    A máquina X está disponível 80 horas por semana e, a máquina Y, 60 horas por semana. Como a gerência não deseja manter inativas as máquinas X e Y , gostaria de saber quantas toneladas de cada produto deve fabricar a fim de que as máquinas sejam totalmente utilizadas. Supõe-se que a indústria consegue vender toda sua produção.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma indústria que fabrica três produtos químicos diferentes: A, B e C. Cada um desses produtos precisa passar por duas máquinas, a X e a Y, que têm tempos de processamento específicos para cada produto. A máquina X está disponível por 80 horas na semana e a máquina Y por 60 horas na semana. A gerência quer usar essas máquinas toda semana, sem ficar com tempo ocioso. Nosso objetivo é descobrir quantas toneladas de cada produto (A, B e C) devem ser fabricadas para atingir isso. Então, vamos precisar de sistemas de equações lineares para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que cada variável representa:
  • Seja o número de toneladas do produto A.
  • Seja o número de toneladas do produto B.
  • Seja o número de toneladas do produto C.
Agora, vamos traduzir as informações do enunciado em equações.

Passo 3

Vamos analisar o tempo que cada produto ocupa nas máquinas:
  • Produto A: 2 horas na máquina X e 2 horas na máquina Y.
  • Produto B: 3 horas na máquina X e 2 horas na máquina Y.
  • Produto C: 4 horas na máquina X e 3 horas na máquina Y.
Sabemos que a máquina X está disponível por 80 horas e a máquina Y por 60 horas na semana. Então, podemos montar duas equações baseadas nesses tempos e disponibilidades.

Passo 4

Para a máquina X:
2A + 3B + 4C = 80
Isso significa que o tempo total usado na máquina X pelas toneladas de A, B e C deve ser igual a 80 horas.
Para a máquina Y:
2A + 2B + 3C = 60
Similarmente, o tempo total usado na máquina Y deve ser igual a 60 horas.

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
2A + 3B + 4C = 80 2A + 2B + 3C = 60
Como temos mais incógnitas do que equações, não teremos uma solução única. Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em termos das outras.

Passo 6

Vamos resolver o sistema subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar a variável (2A + 3B + 4C) - (2A + 2B + 3C) = 80 - 60 :
B + C = 20
Simplificando:
B = 20 - C
Então, temos:

Passo 7

Agora, substituímos 2A + 2(20 - C) + 3C = 60 em uma das equações originais para encontrar 2A + 40 - 2C + 3C = 60 em termos de 2A + C = 20 . Vamos usar a segunda equaç��o:
2A = 20 - C
Simplificando:
A = 20 - C2

Passo 8

Agora, temos A = 20 - C2 e B = 20 - C em termos de :
Como estamos falando de toneladas, , e devem ser números positivos. Portanto, deve ser menor ou igual a 20 para que e também sejam positivos.

Passo 9

Podemos escolher um valor para A = 20 - 02 = 10 dentro desse intervalo para encontrar valores específicos para B = 20 - 0 = 20 e . Por exemplo, se :
Então, uma solução seria 10 toneladas de A, 20 toneladas de B e 0 toneladas de C.

Passo 10

Outra opção, se A = 20 - 102 = 5 :
B = 20 - 10 = 10
Então, 5 toneladas de A, 10 toneladas de B e 10 toneladas de C.

Passo 11

Como há infinitas soluções possíveis dependendo do valor escolhido para entre 0 e 20, a gerência pode escolher a combinação que melhor atenda às demandas do mercado ou outros critérios internos, desde que respeitem a condição de que a soma dos tempos nas máquinas X e Y seja exatamente 80 e 60 horas, respectivamente.

Resposta

A quantidade de toneladas que a indústria deve fabricar pode ser expressa da seguinte forma:
A = 20 - C2 B = 20 - C C in [0, 20]
Isso significa que, para qualquer valor de A = 5 toneladas, B = 10 toneladas, C = 10 toneladas entre 0 e 20, podemos determinar e de acordo. Por exemplo, se :

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