Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como uma combinação linear desses polinômios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que os polinômios , e formam uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2, chamado . Além disso, precisamos escrever o polinômio como uma combinação linear desses três polinômios. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de , que é um espaço de polinômios de grau até 2, uma base precisa ter três polinômios que não estejam relacionados entre si de forma que um possa ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Vamos verificar a linearidade desses polinômios. Precisamos ver se a única solução para a equação é . Se isso for verdade, os polinômios são linearmente independentes.
Substituindo os polinômios na equação:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Da terceira equação, sabemos que . Substituindo na segunda equação, , então . Finalmente, na primeira equação, , então .
Como a única solução é , os polinômios são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos três polinômios linearmente independentes em , que é um espaço de dimensão 3, eles geram todo o espaço. Portanto, , e formam uma base para .

Passo 5

Agora, vamos expressar o polinômio como uma combinação linear desses polinômios. Ou seja, queremos encontrar números , e tais que:
Substituindo os polinômios:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes:

Resposta

Resolvendo, encontramos:
Portanto,

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