No espaço vetorial verifique se os polinômios formam uma base de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se os polinômios , e formam uma base para o espaço vetorial . A matéria que estamos lidando aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. A dimensão desse espaço é 4, pois qualquer polinômio em pode ser escrito como , com 4 coeficientes .

Passo 3

Agora, para que um conjunto de polinômios forme uma base de , ele precisa ter exatamente 4 polinômios (igual à dimensão do espaço) que sejam linearmente independentes. Isso garante que eles possam gerar qualquer polinômio em .

Passo 4

No nosso caso, temos apenas 3 polinômios: , e . Como a dimensão de é 4, precisamos de 4 polinômios para formar uma base. Com apenas 3 polinômios, não conseguimos cobrir toda a dimensão do espaço.

Passo 5

Além disso, mesmo que quiséssemos verificar a independência linear desses 3 polinômios, precisaríamos de 4 para comparar com a dimensão do espaço. Com menos polinômios que a dimensão, eles não podem ser uma base completa.

Resposta

Não, os polinômios , e não formam uma base de , pois são insuficientes para gerar todo o espaço, que exige 4 polinômios linearmente independentes.

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Encontre uma base para o subespaço e estenda a uma base de .
Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como uma combinação linear desses polinômios.
Seja um espaço vetorial. Mostre que se é uma base de então também é uma base de .
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
© é irracional .