No espaço vetorial
verifique se os polinômios formam uma base de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se os polinômios
,
e
formam uma base para o espaço vetorial
. A matéria que estamos lidando aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. A dimensão desse espaço é 4, pois qualquer polinômio em
pode ser escrito como
, com 4 coeficientes
.
Passo 3
Agora, para que um conjunto de polinômios forme uma base de
, ele precisa ter exatamente 4 polinômios (igual à dimensão do espaço) que sejam linearmente independentes. Isso garante que eles possam gerar qualquer polinômio em
.
Passo 4
No nosso caso, temos apenas 3 polinômios:
,
e
. Como a dimensão de
é 4, precisamos de 4 polinômios para formar uma base. Com apenas 3 polinômios, não conseguimos cobrir toda a dimensão do espaço.
Passo 5
Além disso, mesmo que quiséssemos verificar a independência linear desses 3 polinômios, precisaríamos de 4 para comparar com a dimensão do espaço. Com menos polinômios que a dimensão, eles não podem ser uma base completa.
Resposta
Não, os polinômios
,
e
não formam uma base de
, pois são insuficientes para gerar todo o espaço, que exige 4 polinômios linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Encontre uma base para o subespaço
e estenda a uma base de
.
Mostre que os polinômios
e
formam uma base de
. Exprima o polinômio
como uma combinação linear desses polinômios.
Seja
um espaço vetorial. Mostre que se
é uma base de
então
também é uma base de
.
Quais dos seguintes subconjuntos
de
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
© é irracional
.
©