Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
U=(x, y, z, w) in R^4: y+z+w=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o subespaço definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Além disso, precisamos determinar a dimensão desse subespaço. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e dimensão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação y = -z - w . Ela nos impõe uma restrição sobre os valores de , e . Para facilitar, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para :
Isso significa que, para qualquer vetor em , o valor de depende de e .

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor (x, y, z, w) = (x, -z - w, z, w) usando essa relação que encontramos para :
Perceba que , e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Isso nos ajuda a parametrizar os vetores em .

Passo 4

Vamos reescrever o vetor de uma forma que destaque as variáveis livres:
(x, -z - w, z, w) = x cdot (1, 0, 0, 0) + z cdot (0, -1, 1, 0) + w cdot (0, -1, 0, 1)
Aqui, separamos o vetor em uma combinação linear das variáveis livres , e .

Passo 5

Os vetores que multiplicamos por , (1, 0, 0, 0), (0,, -1,, 1,, 0), (0,, -1,, 0,, 1) , , e formam a base do subespaço . Então, uma base para é:
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço .

Passo 6

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 3 vetores, a dimensão de é 3.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 3.

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