Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o subespaço definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Além disso, precisamos determinar a dimensão desse subespaço. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e dimensão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação . Ela nos impõe uma restrição sobre os valores de , e . Para facilitar, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para :
Isso significa que, para qualquer vetor em , o valor de depende de e .
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor usando essa relação que encontramos para :
Perceba que , e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Isso nos ajuda a parametrizar os vetores em .
Passo 4
Vamos reescrever o vetor de uma forma que destaque as variáveis livres:
Aqui, separamos o vetor em uma combinação linear das variáveis livres , e .
Passo 5
Os vetores que multiplicamos por , e formam a base do subespaço . Então, uma base para é:
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço .
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 3 vetores, a dimensão de é 3.