Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base para o subespaço
definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Além disso, precisamos determinar a dimensão desse subespaço. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e dimensão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação
. Ela nos impõe uma restrição sobre os valores de
,
e
. Para facilitar, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para
:
Isso significa que, para qualquer vetor
em
, o valor de
depende de
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor
usando essa relação que encontramos para
:
Perceba que
,
e
são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real. Isso nos ajuda a parametrizar os vetores em
.
Passo 4
Vamos reescrever o vetor de uma forma que destaque as variáveis livres:
Aqui, separamos o vetor em uma combinação linear das variáveis livres
,
e
.
Passo 5
Os vetores que multiplicamos por
,
e
formam a base do subespaço
. Então, uma base para
é:
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço
.
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 3 vetores, a dimensão de
é 3.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 3.