Sejam e bases ordenadas de .
Ache as matrizes mudança de base

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as matrizes de mudança de base entre duas bases ordenadas de , chamadas e . O conteúdo envolvido aqui é o de mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir as matrizes que fazem essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases e :
  • Base : — essa é a base canônica de .
  • Base : .

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos expressar cada vetor da base na base . Como é a base canônica, os vetores de já estão expressos em termos de . Assim, a matriz será formada pelas coordenadas dos vetores de em relação a .

Passo 4

Vamos construir a matriz :
Cada coluna dessa matriz representa um vetor de expresso na base .

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos inverter a matriz . Ou seja, .
Vamos calcular a inversa da matriz :
Calculando a inversa:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:

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.
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Encontre uma base e a dimensão de
imagem de .
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;
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