Sejam B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e B1=(1,0, 12),(0,1,-12),(0,0,1) bases ordenadas de R^3.
Ache as matrizes mudança de base [I]B^B1 e[I]B1^B

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as matrizes de mudança de base entre duas bases ordenadas de , chamadas e . O conteúdo envolvido aqui é o de mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir as matrizes que fazem essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases e :
  • Base : — essa é a base canônica de .
  • Base : .

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos expressar cada vetor da base na base . Como é a base canônica, os vetores de já estão expressos em termos de . Assim, a matriz será formada pelas coordenadas dos vetores de em relação a .

Passo 4

Vamos construir a matriz [I]B^B1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 12 & -12 & 1 :
Cada coluna dessa matriz representa um vetor de expresso na base .

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz de mudança de base [I]B^B1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 12 & -12 & 1 , precisamos inverter a matriz [I]B1^B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -12 & 12 & 1 . Ou seja, .
Vamos calcular a inversa da matriz :
Calculando a inversa:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]B^B1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 12 & -12 & 1 e [I]B1^B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -12 & 12 & 1

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