Sejam e bases ordenadas de .
Ache as matrizes mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as matrizes de mudança de base entre duas bases ordenadas de , chamadas e . O conteúdo envolvido aqui é o de mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir as matrizes que fazem essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as bases e :
Base : — essa é a base canônica de .
Base : .
Passo 3
Para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos expressar cada vetor da base na base . Como é a base canônica, os vetores de já estão expressos em termos de . Assim, a matriz será formada pelas coordenadas dos vetores de em relação a .
Passo 4
Vamos construir a matriz :
Cada coluna dessa matriz representa um vetor de expresso na base .
Passo 5
Agora, para encontrar a matriz de mudança de base [I]B^B1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 12 & -12 & 1 , precisamos inverter a matriz [I]B1^B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -12 & 12 & 1 . Ou seja, .