Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para um subespaço de que é definido pelas condições e . Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais e subespaços na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como essas equações restringem os vetores em e encontrar vetores que “geram” todo esse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que as equações e estão nos dizendo. A equação significa que . Já a equação nos diz que o valor de depende do valor de . Assim, podemos expressar e em termos de e , que serão nossas variáveis livres.

Passo 3

Agora, vamos escrever um vetor qualquer em usando as relações que encontramos:
Substituindo essas relações, o vetor fica:
Podemos separar isso em duas partes, uma envolvendo e outra envolvendo :
Aqui, e são os parâmetros livres que podem assumir qualquer valor real.

Passo 4

Com essa representação, vemos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Esses vetores são, portanto, candidatos a formar uma base para . Para confirmar, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Claramente, não é o caso aqui, já que um afeta as primeiras duas coordenadas e o outro as últimas duas.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e . A dimensão de é 2.

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Seja a transformação linear definida por
Encontre uma base e a dimensão de
imagem de .
Sejam e bases ordenadas de .
Quais são as coordenadas de um vetor em relação á base ?
Sejam e bases ordenadas de .
Ache as matrizes mudança de base
Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
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