Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para um subespaço de que é definido pelas condições e . Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais e subespaços na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como essas equações restringem os vetores em e encontrar vetores que “geram” todo esse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que as equações e estão nos dizendo. A equação significa que . Já a equação nos diz que o valor de depende do valor de . Assim, podemos expressar e em termos de e , que serão nossas variáveis livres.
Passo 3
Agora, vamos escrever um vetor qualquer em usando as relações que encontramos:
Substituindo essas relações, o vetor fica:
Podemos separar isso em duas partes, uma envolvendo e outra envolvendo :
Aqui, e são os parâmetros livres que podem assumir qualquer valor real.
Passo 4
Com essa representação, vemos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Esses vetores são, portanto, candidatos a formar uma base para . Para confirmar, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Claramente, não é o caso aqui, já que um afeta as primeiras duas coordenadas e o outro as últimas duas.
Resposta
Uma base para é formada pelos vetores e . A dimensão de é 2.