Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
W=(x, y, z, w) in R^4: x+y=0, z=2 w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para um subespaço de que é definido pelas condições e . Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais e subespaços na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como essas equações restringem os vetores em e encontrar vetores que “geram” todo esse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que as equações e estão nos dizendo. A equação significa que . Já a equação nos diz que o valor de depende do valor de . Assim, podemos expressar e em termos de e , que serão nossas variáveis livres.

Passo 3

Agora, vamos escrever um vetor qualquer y = -x z = 2w em (x, y, z, w) = (x, -x, 2w, w) usando as relações que encontramos:
(x, -x, 2w, w) = x cdot (1, -1, 0, 0) + w cdot (0, 0, 2, 1)
Substituindo essas relações, o vetor fica:
Podemos separar isso em duas partes, uma envolvendo e outra envolvendo :
Aqui, e são os parâmetros livres que podem assumir qualquer valor real.

Passo 4

Com essa representação, vemos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Esses vetores são, portanto, candidatos a formar uma base para . Para confirmar, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Claramente, não é o caso aqui, já que um afeta as primeiras duas coordenadas e o outro as últimas duas.

Resposta

Uma base para Base = , 1 -1 0 0, 0 0 2 1 ,, dim(W) = 2 é formada pelos vetores e . A dimensão de é 2.

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