Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para um subespaço
de
que é definido pelas condições
e
. Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais e subespaços na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como essas equações restringem os vetores em
e encontrar vetores que “geram” todo esse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que as equações
e
estão nos dizendo. A equação
significa que
. Já a equação
nos diz que o valor de
depende do valor de
. Assim, podemos expressar
e
em termos de
e
, que serão nossas variáveis livres.
Passo 3
Agora, vamos escrever um vetor qualquer
em
usando as relações que encontramos:
Substituindo essas relações, o vetor fica:
Podemos separar isso em duas partes, uma envolvendo
e outra envolvendo
:
Aqui,
e
são os parâmetros livres que podem assumir qualquer valor real.
Passo 4
Com essa representação, vemos que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Esses vetores são, portanto, candidatos a formar uma base para
. Para confirmar, precisamos verificar se eles são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Claramente, não é o caso aqui, já que um afeta as primeiras duas coordenadas e o outro as últimas duas.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e
. A dimensão de
é 2.