Sejam e bases ordenadas de .
Quais são as coordenadas de um vetor em relação á base ?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas bases ordenadas do espaço tridimensional :
  • A base , que é a base padrão.
  • A base .
Queremos encontrar as coordenadas do vetor em relação à base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação de coordenadas e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de em relação à base . Queremos encontrar três números, digamos , e , tais que:
Isso significa que ao combinar esses vetores da base com certos coeficientes , e , obtemos o vetor .

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações resultantes dessa combinação linear. Ao somar os vetores multiplicados pelos coeficientes, temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Já temos os valores de e diretamente das primeiras duas equações:
Agora, substituímos esses valores na terceira equação para encontrar :
Calculando:
Para isolar , adicionamos em ambos os lados da equação:

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

Exercícios relacionados

Seja a matriz
$(a) $Encontre (se for possível) uma matriz tal que .
Verdadeiro ou falso? Justifique.
$(f) $Definimos . Se é uma matriz triangular inferior, então é uma matriz triangular inferior.
Seja a transformação linear definida por
Encontre uma base e a dimensão de
imagem de .
Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
.