Sejam
e
bases ordenadas de
.
Quais são as coordenadas de um vetor
em relação á base
?
Quais são as coordenadas de um vetor
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas bases ordenadas do espaço tridimensional
:
- A base
, que é a base padrão. - A base
.
Queremos encontrar as coordenadas do vetor
em relação à base
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação de coordenadas e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de
em relação à base
. Queremos encontrar três números, digamos
,
e
, tais que:
Isso significa que ao combinar esses vetores da base
com certos coeficientes
,
e
, obtemos o vetor
.
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações resultantes dessa combinação linear. Ao somar os vetores multiplicados pelos coeficientes, temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Já temos os valores de
e
diretamente das primeiras duas equações:
Agora, substituímos esses valores na terceira equação para encontrar
:
Calculando:
Para isolar
, adicionamos
em ambos os lados da equação:
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são
.
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Seja a matriz
$(a) $Encontre (se for possível) uma matriz tal que
.
$(a) $Encontre (se for possível) uma matriz
Verdadeiro ou falso? Justifique.
$(f) $Definimos . Se
é uma matriz triangular inferior, então
é uma matriz triangular inferior.
$(f) $Definimos
Seja
a transformação linear definida por
Encontre uma base e a dimensão de
imagem de .
imagem de
Encontre uma base para o subespaços e determine sua dimensão a seguir:
.