Sejam B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e B1=(1,0, 12),(0,1,-12),(0,0,1) bases ordenadas de R^3.
Quais são as coordenadas de um vetor v=(-2,1,3) em relação á base B1 ?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas bases ordenadas do espaço tridimensional R^3:
  • A base B = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), que é a base padrão.
  • A base B1 = (1,0, 12), (0,1,-12), (0,0,1).
Queremos encontrar as coordenadas do vetor v = (-2,1,3) em relação à base B1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformação de coordenadas e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de v em relação à base B1. Queremos encontrar três números, digamos a, b e c, tais que:
a cdot (1, 0, 12) + b cdot (0, 1, -12) + c cdot (0, 0, 1) = (-2, 1, 3)
Isso significa que ao combinar esses vetores da base B1 com certos coeficientes a, b e c, obtemos o vetor v.

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações resultantes dessa combinação linear. Ao somar os vetores multiplicados pelos coeficientes, temos:
(a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0, a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0, a cdot 12 + b cdot (-12) + c cdot 1) = (-2, 1, 3)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. a = -2
  2. b = 1
  3. 12a - 12b + c = 3

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Já temos os valores de a e b diretamente das primeiras duas equações:
  1. a = -2
  2. b = 1
Agora, substituímos esses valores na terceira equação para encontrar c:
12(-2) - 12(1) + c = 3
Calculando:
-1 - 0.5 + c = 3
-1.5 + c = 3
Para isolar c, adicionamos 1.5 em ambos os lados da equação:
c = 3 + 1.5
c = 4.5

Resposta

As coordenadas do vetor v = (-2,1,3) em relação à base B1 são (-2, 1, 92).

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