Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede! Temos uma transformação linear definida por:
O que precisamos fazer é encontrar uma base para a imagem de e determinar a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaço vetorial, imagem de uma transformação linear, e base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a imagem de consiste em todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Para encontrar uma base da imagem, precisamos identificar vetores que:
Geram a imagem (ou seja, combinando eles podemos obter qualquer vetor da imagem).
São linearmente independentes (não tem redundância).
Passo 3
Vamos representar a transformação como uma matriz. Cada coluna dessa matriz corresponde às imagens dos vetores canônicos de . Os vetores canônicos são , , , e .
Calculando , , e :
Então, a matriz associada a é:
Passo 4
Agora, para encontrar a imagem de 1 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 1 & 3 & -3 , precisamos ver quais colunas da matriz 1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 2 & 2 & -4 são linearmente independentes. Isso nos dará os vetores que formam uma base para a imagem.
Vamos montar uma matriz com as colunas de 1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0 e realizar operações de linha para simplificá-la.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das próximas duas:
Agora, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira:
Notamos que a terceira linha é toda zero, o que indica que temos colunas dependentes. Assim, as duas primeiras colunas da matriz são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de .
Passo 5
Portanto, os vetores que formam a base da imagem de 1 1 1 , -1 0 1 são as duas primeiras colunas de :
A dimensão da imagem é igual ao número de vetores na base, que neste caso é 2.
Resposta
A base da imagem de 1 1 1 é formada pelos vetores -1 0 1 e , e a dimensão da imagem de é 2.