Seja a transformação linear definida por
Encontre uma base e a dimensão de
imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede! Temos uma transformação linear definida por:
O que precisamos fazer é encontrar uma base para a imagem de e determinar a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaço vetorial, imagem de uma transformação linear, e base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a imagem de consiste em todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Para encontrar uma base da imagem, precisamos identificar vetores que:
  1. Geram a imagem (ou seja, combinando eles podemos obter qualquer vetor da imagem).
  2. São linearmente independentes (não tem redundância).

Passo 3

Vamos representar a transformação como uma matriz. Cada coluna dessa matriz corresponde às imagens dos vetores canônicos de . Os vetores canônicos são , , , e .
Calculando , , e :
Então, a matriz associada a é:

Passo 4

Agora, para encontrar a imagem de , precisamos ver quais colunas da matriz são linearmente independentes. Isso nos dará os vetores que formam uma base para a imagem.
Vamos montar uma matriz com as colunas de e realizar operações de linha para simplificá-la.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das próximas duas:
Agora, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira:
Notamos que a terceira linha é toda zero, o que indica que temos colunas dependentes. Assim, as duas primeiras colunas da matriz são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de .

Passo 5

Portanto, os vetores que formam a base da imagem de são as duas primeiras colunas de :
A dimensão da imagem é igual ao número de vetores na base, que neste caso é 2.

Resposta

A base da imagem de é formada pelos vetores e , e a dimensão da imagem de é 2.

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.
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