Seja F: R^4 R^3 a transformação linear definida por
F(x, y, s, t)=(x-y+s+t, x+2 s-t, x+y+3 s-3 t)
Encontre uma base e a dimensão de
imagem de U d e F.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede! Temos uma transformação linear F(x, y, s, t) = (x - y + s + t, x + 2s - t, x + y + 3s - 3t) definida por:
O que precisamos fazer é encontrar uma base para a imagem de e determinar a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaço vetorial, imagem de uma transformação linear, e base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a imagem de consiste em todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Para encontrar uma base da imagem, precisamos identificar vetores que:
  1. Geram a imagem (ou seja, combinando eles podemos obter qualquer vetor da imagem).
  2. São linearmente independentes (não tem redundância).

Passo 3

Vamos representar a transformação F(e1) = F(1,0,0,0) = (1 - 0 + 0 + 0, 1 + 0 - 0, 1 + 0 + 0 - 0) = (1, 1, 1) como uma matriz. Cada coluna dessa matriz corresponde às imagens dos vetores canônicos de F(e2) = F(0,1,0,0) = (0 - 1 + 0 + 0, 0 + 0 - 0, 0 + 1 + 0 - 0) = (-1, 0, 1) . Os vetores canônicos são F(e3) = F(0,0,1,0) = (0 - 0 + 1 + 0, 0 + 2 - 0, 0 + 0 + 3 - 0) = (1, 2, 3) , F(e4) = F(0,0,0,1) = (0 - 0 + 0 + 1, 0 + 0 - 1, 0 + 0 + 0 - 3) = (1, -1, -3) , A = 1 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 1 & 3 & -3 , e .
Calculando , , e :
Então, a matriz associada a é:

Passo 4

Agora, para encontrar a imagem de 1 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 1 & 3 & -3 , precisamos ver quais colunas da matriz 1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 2 & 2 & -4 são linearmente independentes. Isso nos dará os vetores que formam uma base para a imagem.
Vamos montar uma matriz com as colunas de 1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0 e realizar operações de linha para simplificá-la.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das próximas duas:
Agora, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira:
Notamos que a terceira linha é toda zero, o que indica que temos colunas dependentes. Assim, as duas primeiras colunas da matriz são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de .

Passo 5

Portanto, os vetores que formam a base da imagem de 1 1 1 , -1 0 1 são as duas primeiras colunas de :
A dimensão da imagem é igual ao número de vetores na base, que neste caso é 2.

Resposta

A base da imagem de 1 1 1 é formada pelos vetores -1 0 1 e , e a dimensão da imagem de é 2.

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