Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um polinômio e uma base do espaço de polinômios de grau no máximo 2, . O objetivo é encontrar as coordenadas de nessa base , ou seja, determinar .
Para isso, vamos precisar saber como expressar um polinômio em termos de uma base dada. Basicamente, queremos encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelos elementos da base e somados, resultem no polinômio original .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o polinômio como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que queremos encontrar números , e tais que:
Aqui, , e são as coordenadas que estamos buscando, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão acima para igualar aos termos de 2 - t + 3t^2 = a(1 + t) + b(1 - t) + c t^2 :
2 - t + 3t^2 = a + a t + b + (-b) t + c t^2
Vamos distribuir os coeficientes:
2 - t + 3t^2 = (a + b) + (a - b)t + c t^2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 4
Para que duas expressões polinomiais sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
a + b = 2 a - b = -1 c = 3
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar , e .
Passo 5
Primeiro, da terceira equação, já temos:
c = 3
Agora, vamos resolver as duas primeiras equações:
a + b = 2 a - b = -1
Somando as duas equações:
(a + b) + (a - b) = 2 + (-1) 2a = 1 a = 12
Substituindo 12 + b = 2 b = 2 - 12 b = 32 na primeira equação:
Resposta
Portanto, as coordenadas de [p(t)]beta = 12 32 3 na base são: