Esboce e determine a área da região delimitada pelas retas 4 x-7 y+18=0,2 x-y-6=0 e 4 x+3 y-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar (ou seja, desenhar) e determinhar a área da região que é limitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, encontrando os pontos onde essas retas se cruzam e, com isso, calcular a área do triângulo formado por esses pontos.

Passo 2

Primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das retas. Isso significa resolver pares de equações para descobrir onde duas retas se encontram no plano.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção da primeira reta 2x - y -6 = 0 implies y = 2x -6 com a segunda reta 4x - 7(2x -6) +18 =0.
Primeiro, da segunda equação, vamos isolar o 4x -14x +42 +18 =0:
-10x +60 =0
Agora, substituímos -10x = -60 na primeira equação:
x = 6
Resolvendo isso:
y = 2(6) -6 =12 -6 =6
Com , substituímos de volta na equação :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos achar a interseção da primeira reta 4x -7y +18 =0 4x +3y -2=0 com a terceira reta (4x -7y +18) - (4x +3y -2) =0.
Temos o sistema:
-10y +20 =0
Podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o -10y = -20:
y =2
4x +3(2) -2 =0
4x +6 -2 =0
4x +4 =0
Agora, substituímos 4x =-4 na terceira equação:
x = -1
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 5

Por último, vamos encontrar a interseção da segunda reta 2x - y -6 =0 4x +3y -2 =0 com a terceira reta y =2x -6.
Temos o sistema:
4x +3(2x -6) -2 =0
Da primeira equação, isolamos o 4x +6x -18 -2 =0:
10x -20 =0
Substituindo na segunda equação:
10x =20
x=2
y=2(2) -6 =4 -6 =-2
Agora, substituindo na equação :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que temos os três pontos de interseção Área = 12 | (xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)) | , Área = 12 | 6(2 - (-2)) + (-1)(-2 -6) + 2(6 -2) | e = 12 |6(4) + (-1)(-8) +2(4)| , vamos calcular a área do triângulo formado por eles. Usaremos a fórmula da área pelo determinante (fórmula de Shoelace):
= 12 |24 +8 +8| = 12 times 40 =20 Á
Substituindo os valores:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas retas é de 20 unidades quadradas.

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