Esboce e determine a área da região delimitada pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar (ou seja, desenhar) e determinhar a área da região que é limitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, encontrando os pontos onde essas retas se cruzam e, com isso, calcular a área do triângulo formado por esses pontos.
Passo 2
Primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das retas. Isso significa resolver pares de equações para descobrir onde duas retas se encontram no plano.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção da primeira reta com a segunda reta .
Primeiro, da segunda equação, vamos isolar o :
Agora, substituímos na primeira equação:
Resolvendo isso:
Com , substituímos de volta na equação :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, vamos achar a interseção da primeira reta com a terceira reta .
Temos o sistema:
Podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o :
Agora, substituímos na terceira equação:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 5
Por último, vamos encontrar a interseção da segunda reta com a terceira reta .
Temos o sistema:
Da primeira equação, isolamos o :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na equação :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 6
Agora que temos os três pontos de interseção , e , vamos calcular a área do triângulo formado por eles. Usaremos a fórmula da área pelo determinante (fórmula de Shoelace):
Substituindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas retas é de 20 unidades quadradas.