lim x 0 sen(3 x)x+sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é . A gente está trabalhando com Cálculo, mais especificamente com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam quando está bem perto de zero e usar uma ferramenta chamada Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando sin(0)0 + sin(0) = 00 se aproxima de 0 na expressão . Se substituirmos por 0 diretamente, teremos:
Essa é uma indeterminação do tipo , o que significa que não conseguimos determinar o valor do limite dessa forma. Quando temos esse tipo de indeterminação, a gente pode usar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital:
limx 0 sin(3x)x + sin x = limx 0 ddx sin(3x)ddx (x + sin x)
Agora, vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador ddx sin(3x) = 3cos(3x) :
ddx (x + sin x) = 1 + cos x
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Substituindo as derivadas na expressão do limite:
limx 0 3cos(3x)1 + cos x
Agora, vamos substituir cos(0) = 1 e cos(3 times 0) = cos(0) = 1 por 0 nas funções cosseno:
3 times 11 + 1 = 32
Então, a expressão fica:

Resposta

O limite é igual a .

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