Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da fórmula.
f_z(x, y, z), em que f(x, y, z) = e^(x * y^2) * z^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Vamos precisar aplicar a regra da derivada considerando que e são constantes durante essa derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando calculamos a derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis, tratamos as outras variáveis como se fossem constantes. Aqui, queremos derivar em relação a , então e serão considerados constantes.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Observamos que é uma constante em relação a . Então, usamos a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função:

Passo 4

A próxima etapa é derivar em relação a . Usando a regra do poder, sabemos que:

Passo 5

Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão anterior:

Resposta

Portanto, a derivada parcial de em relação a é:

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