Escrever os seguintes polinômios como polinômios em z e z barra.
(a) F(x, y) = (x - y^2) + i(y^2 + x);

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para escrever o polinômio em termos de e . Isso significa que precisamos reescrever a função usando apenas essas duas variáveis complexas. Para isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam e com e :
Essas expressões nos permitirão substituir e em termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar e nas equações de e . Somando as duas equações:
Subtraindo de :

Passo 3

Agora que temos e em termos de e , vamos substituir esses valores na função :

Passo 4

Vamos simplificar cada parte separadamente. Primeiro, calculemos :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Simplificando os sinais:
Agora, vamos expandir :
Substituindo de volta:

Passo 6

Finalmente, agrupando os termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio escrito em termos de e é:

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u(x, y) + i v(x, y)
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Escrever os seguintes polinômios como polinômios em z e z barra.
(b) F(x, y) = (x^2 - y^2) + i(2xy);