Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da fórmula.
partialpartial z f(x, y, z), em que f(x, y, z)=2 x y^2-7 x z+3 x y z^2

Passo 1

Vamos entender o enunciado: precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, , onde . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que consiste em derivar a função em relação a uma variável, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Vamos derivar cada termo de partialpartial z (2xy^2) = 0 em relação a , tratando e como constantes.
  1. Primeiro termo:
    Esse termo não contém , então a derivada em relação a é zero:

Passo 3

  1. Segundo termo: partialpartial z (-7xz) = -7x cdot partial zpartial z = -7x cdot 1 = -7x
    Aqui, é constante e derivamos :

Passo 4

  1. Terceiro termo: partialpartial z (3xyz^2) = 3xy cdot partial z^2partial z = 3xy cdot 2z = 6xyz
    Neste termo, e são constantes, e derivamos :

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos três termos:
0 - 7x + 6xyz = -7x + 6xyz

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial z = -7x + 6xyz em relação a é:

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u(x, y) + i v(x, y)
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Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da fórmula.
f_x(-1,2), em que f(x, y) = -7 x^2 + 8 x y^2