Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as primeiras derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais da Cálculo Diferencial.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
Agora, derivando cada termo:
-
Primeiro termo:
- Como
é constante em relação a , a derivada é .
- Como
-
Segundo termo:
- Tratando
como constante, a derivada é .
- Tratando
-
Terceiro termo:
- Aqui, tanto
quanto são constantes, então a derivada é .
- Aqui, tanto
Juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Nesse caso,
e
são tratados como constantes.
Derivando cada termo:
-
Primeiro termo:
- Aqui,
é constante e a derivada de é , então o resultado é .
- Aqui,
-
Segundo termo:
- Como não há
nesse termo, a derivada é .
- Como não há
-
Terceiro termo:
-
e são constantes, então a derivada é .
-
Somando os resultados:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
. Aqui,
e
são constantes.
Derivando cada termo:
-
Primeiro termo:
- Não há
nesse termo, então a derivada é .
- Não há
-
Segundo termo:
- Trata-se de uma função linear em
, então a derivada é .
- Trata-se de uma função linear em
-
Terceiro termo:
- Aqui,
e são constantes e a derivada de é , resultando em .
- Aqui,
Somando tudo:
Resposta
As primeiras derivadas parciais da função são:
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(b)
;
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, em que