Encontre as primeiras derivadas parciais de cada função.
f(x, y, z) = 2xy^2 - 7xz + 3xyz^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as primeiras derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis , e . Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais da Cálculo Diferencial.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que denotamos por . Aqui, tratamos e como constantes.
Agora, derivando cada termo:
  1. Primeiro termo:
    • Como é constante em relação a , a derivada é .
  2. Segundo termo:
    • Tratando como constante, a derivada é .
  3. Terceiro termo:
    • Aqui, tanto quanto são constantes, então a derivada é .
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Nesse caso, e são tratados como constantes.
Derivando cada termo:
  1. Primeiro termo:
    • Aqui, é constante e a derivada de é , então o resultado é .
  2. Segundo termo:
    • Como não há nesse termo, a derivada é .
  3. Terceiro termo:
    • e são constantes, então a derivada é .
Somando os resultados:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por . Aqui, e são constantes.
Derivando cada termo:
  1. Primeiro termo:
    • Não há nesse termo, então a derivada é .
  2. Segundo termo:
    • Trata-se de uma função linear em , então a derivada é .
  3. Terceiro termo:
    • Aqui, e são constantes e a derivada de é , resultando em .
Somando tudo:

Resposta

As primeiras derivadas parciais da função são:

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