Se possível, escreva o vetor w=(3,4) como combinação linear dos vetores u=(1,3) e v=(2,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever o vetor a cdot u + b cdot v = w como uma combinação linear dos vetores e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar encontrar coeficientes e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever essa combinação linear de forma mais explícita. Substituindo os vetores dados:
a cdot (1,3) + b cdot (2,5) = (3,4)
Isso significa que cada componente dos vetores deve satisfazer a igualdade. Vamos separar isso em duas equações:
  1. Para a primeira componente:
1a + 2b = 3
  1. Para a segunda componente:
3a + 5b = 4

Passo 3

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + 2b = 3 3a + 5b = 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos usar o método de substituição. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar a = 3 - 2b :
3(3 - 2b) + 5b = 4
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
9 - 6b + 5b = 4
Combinando os termos semelhantes:
9 - b = 4
Agora, isolamos -b = 4 - 9 -b = -5 b = 5 :

Passo 6

Agora que temos o valor de a = 3 - 2b = 3 - 2(5) = 3 - 10 = -7 , substituímos de volta na expressão que encontramos para :

Resposta

Portanto, o vetor w = -7 cdot u + 5 cdot v pode ser escrito como combinação linear dos vetores e da seguinte forma:

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