Encontre, em cada um dos itens abaixo, d/y d/x, onde y = y(x) é definida implicitamente pela equação dada:
sen(xy) + y - x^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a derivada onde é uma função de definida pela equação . Isso é um exemplo de derivação implícita, onde está misturado com dentro da função. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando a gente derivar termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então precisamos derivar em relação a .
  2. Derivada de :
    A derivada de em relação a é simplesmente .
  3. Derivada de :
    Isso é direto, a derivada de é .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada de :
Agora, derivamos usando a regra do produto:
Então,
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 4

Agora, vamos juntar todas as derivadas na equação original derivada:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar esse termo. Primeiro, distribua o :
Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada é:

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Encontre, em cada um dos itens abaixo, d/y d/x, onde y = y(x) é definida implicitamente pela equação dada:
cos^2(x+y) = 1/4
Seja g: R -> R uma função diferenciável tal que g(-1) = 3 e g'(-1) = 5. Calcule f'(0), sendo f dada por
f(x) = e^x g(4 x - 1)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x) = raiz(8)(x)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x) = e^(x^3) - ln(x^2 + 1)