Encontre, em cada um dos itens abaixo,
, onde
é definida implicitamente pela equação dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a derivada
onde
é uma função de
definida pela equação
. Isso é um exemplo de derivação implícita, onde
está misturado com
dentro da função. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando a gente derivar termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo:
-
Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada deé . Aqui, , então precisamos derivar em relação a . -
Derivada de
:
A derivada deem relação a é simplesmente . -
Derivada de
:
Isso é direto, a derivada deé .
Passo 3
Vamos calcular cada derivada:
- Derivada de
:
Agora, derivamos
usando a regra do produto:
Então,
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos juntar todas as derivadas na equação original derivada:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar esse termo. Primeiro, distribua o
:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Encontre, em cada um dos itens abaixo,
, onde
é definida implicitamente pela equação dada:
Seja
uma função diferenciável tal que
e
. Calcule
, sendo
dada por
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.