Seja g: R -> R uma função diferenciável tal que g(-1) = 3 e g'(-1) = 5. Calcule f'(0), sendo f dada por
f(x) = e^x g(4 x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde é uma função diferenciável. Sabemos que e . O objetivo é calcular a derivada de quando , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do produto. Se temos duas funções e , a derivada de é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos derivar . A derivada de é ela mesma:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia, que diz que se , então:
No nosso caso, , então . Portanto:

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a regra do produto para encontrar :
Substituindo:
Podemos fatorar :

Passo 6

Agora, queremos calcular . Vamos substituir na expressão que encontramos:
Simplificando:
Porque .

Passo 7

Sabemos que e . Substituindo esses valores:

Resposta

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