Seja
uma função diferenciável tal que
e
. Calcule
, sendo
dada por
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
é uma função diferenciável. Sabemos que
e
. O objetivo é calcular a derivada de
quando
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra do produto. Se temos duas funções
e
, a derivada de
é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos derivar
. A derivada de
é ela mesma:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aqui, usamos a regra da cadeia, que diz que se
, então:
No nosso caso,
, então
. Portanto:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar a regra do produto para encontrar
:
Substituindo:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, queremos calcular
. Vamos substituir
na expressão que encontramos:
Simplificando:
Porque
.
Passo 7
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores: