Encontre, em cada um dos itens abaixo,
, onde
é definida implicitamente pela equação dada:
Passo 1
Então, galera, temos aqui um exercício de cálculo que envolve derivadas implícitas. O que isso significa? Basicamente, queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
, ou seja,
, quando
não está isolado em função de
, mas sim misturado na equação dada. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de diferenciação implícita, que nos ajuda a derivar equações onde
e
estão interligados de forma complicada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, quando derivamos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia, já que
é uma função de
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação:
Aplicamos a regra da cadeia aqui. Primeiro, derivamos a função externa, que é algo elevado à quarta potência, e depois multiplicamos pela derivada da funç��o interna
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação:
Novamente, usamos a regra da cadeia. Derivamos a função externa, que é algo ao quadrado, e depois multiplicamos pela derivada da função interna
:
Derivando
:
Passo 5
Agora que temos as derivadas de ambos os lados, igualamos as duas expressões:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
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é
(a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante
.
(b) Calcule o limite
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© Esboce o gráfico da função.