Encontre, em cada um dos itens abaixo, d/y d/x, onde y = y(x) é definida implicitamente pela equação dada:
(y^2 - 9)^4 = (4x^2 + 3x - 1)^2

Passo 1

Então, galera, temos aqui um exercício de cálculo que envolve derivadas implícitas. O que isso significa? Basicamente, queremos encontrar a taxa de variação de em relação a , ou seja, , quando não está isolado em função de , mas sim misturado na equação dada. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de diferenciação implícita, que nos ajuda a derivar equações onde e estão interligados de forma complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, quando derivamos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia, já que é uma função de .

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação:
Aplicamos a regra da cadeia aqui. Primeiro, derivamos a função externa, que é algo elevado à quarta potência, e depois multiplicamos pela derivada da funç��o interna :
Agora, derivamos em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação:
Novamente, usamos a regra da cadeia. Derivamos a função externa, que é algo ao quadrado, e depois multiplicamos pela derivada da função interna :
Derivando :

Passo 5

Agora que temos as derivadas de ambos os lados, igualamos as duas expressões:
Nosso objetivo é isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x) = log3(x) + 5 x^2 ln(x)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x) = log(pi, x)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x) = 11^x
A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo 0 x é
x=e^-t cos t, t >= 0
(a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante t.
(b) Calcule o limite
lim t +infty e^-t cos t
© Esboce o gráfico da função.