A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo 0 x é
x=e^-t cos t, t >= 0
(a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante t.
(b) Calcule o limite
lim t +infty e^-t cos t
© Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo com a posição dada por para . Precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar a velocidade e a aceleração da partícula no instante .
(b) Calcular o limite de quando tende ao infinito.
© Esboçar o gráfico dessa função.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial para derivar as expressões de velocidade e aceleração, entender limites para a parte (b) e analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico na parte ©.

Passo 2

Parte (a): Determinar a velocidade e a aceleração da partícula no instante v(t) = dxdt = ddt ( e^-t cos t ) .
Vamos começar entendendo que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição.
  1. Encontrar a velocidade f'(t) = u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t) :
    A posição é dada por v(t) = (-e^-t) cos t + e^-t (-sin t) = -e^-t cos t - e^-t sin t .
    Para achar a velocidade, derivamos v(t) = -e^-t (cos t + sin t) em relação a a(t) = dvdt = ddt ( -e^-t (cos t + sin t) ) :
    a(t) = -(-e^-t) (cos t + sin t) + -e^-t (-sin t + cos t)
    Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que se a(t) = e^-t (cos t + sin t) + e^-t (sin t - cos t) , então:
    a(t) = e^-t (2 sin t)
    Aplicando isso:
    a(t) = 2 e^-t sin t
    Podemos fatorar :
  2. Encontrar a aceleração :
    Agora, derivamos para achar a aceleração:
    Novamente, aplicamos a regra do produto:
    Simplificando:

Passo 3

Parte (b): Calcular o limite limt to +infty e^-t cos t = 0 .
Vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito.
  1. Entendendo as funções envolvidas:
    • : É uma função exponencial decrescente que tende a zero conforme aumenta.
    • : É uma função oscilante que varia entre -1 e 1 para todos os valores de .
  2. Aplicando o teorema do limite de produto:
    Quando multiplicamos uma função que tende a zero ( ) por uma função limitada ( ), o produto tende a zero.
    Portanto:

Passo 4

Parte ©: Esboçar o gráfico da função x(0) = e^0 cos 0 = 1 cdot 1 = 1 .
Vamos analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico.
  1. Comportamento inicial ( ):
  2. Comportamento quando :
    Conforme vimos na parte (b), tende a zero.
  3. Oscilações:
    A função faz oscilações entre -1 e 1, mas o fator faz essas oscilações diminuírem de amplitude conforme aumenta.
  4. Forma do gráfico:
    O gráfico será uma curva oscilante que começa em 1 quando e se aproxima da linha à medida que aumenta, com as oscilações se tornando cada vez menores.

Resposta

(a) A velocidade é e a aceleração é .
(b) .
© O gráfico de é uma curva oscilante que começa em 1 quando e tende a zero conforme aumenta, com as oscilações diminuindo de amplitude.

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