A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
é
(a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante
.
(b) Calcule o limite
© Esboce o gráfico da função.
(b) Calcule o limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo
com a posição dada por
para
. Precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar a velocidade e a aceleração da partícula no instante
.
(b) Calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
© Esboçar o gráfico dessa função.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial para derivar as expressões de velocidade e aceleração, entender limites para a parte (b) e analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico na parte ©.
Passo 2
Parte (a): Determinar a velocidade e a aceleração da partícula no instante
.
Vamos começar entendendo que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição.
-
Encontrar a velocidade
: A posição é dada por. Para achar a velocidade, derivamosem relação a : Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que se, então: Aplicando isso:Podemos fatorar: -
Encontrar a aceleração
: Agora, derivamospara achar a aceleração: Novamente, aplicamos a regra do produto:Simplificando:
Passo 3
Parte (b): Calcular o limite
.
Vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito.
-
Entendendo as funções envolvidas:
-
: É uma função exponencial decrescente que tende a zero conforme aumenta. -
: É uma função oscilante que varia entre -1 e 1 para todos os valores de .
-
-
Aplicando o teorema do limite de produto:Quando multiplicamos uma função que tende a zero (
) por uma função limitada ( ), o produto tende a zero. Portanto:
Passo 4
Parte ©: Esboçar o gráfico da função
.
Vamos analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico.
-
Comportamento inicial (
): -
Comportamento quando
: Conforme vimos na parte (b),tende a zero. -
Oscilações:A função
faz oscilações entre -1 e 1, mas o fator faz essas oscilações diminuírem de amplitude conforme aumenta. -
Forma do gráfico:O gráfico será uma curva oscilante que começa em 1 quando
e se aproxima da linha à medida que aumenta, com as oscilações se tornando cada vez menores.
Resposta
(a) A velocidade é
e a aceleração é
.
(b)
.
© O gráfico de
é uma curva oscilante que começa em 1 quando
e tende a zero conforme
aumenta, com as oscilações diminuindo de amplitude.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
Encontre, em cada um dos itens abaixo,
, onde
é definida implicitamente pela equação dada:
Calcule a derivada segunda de
.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.